Determine e descreva o caminho para o qual a integral
é estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de variações, que faz parte do cálculo diferencial. A ideia é encontrar a função que torna a integral dada estacionária, ou seja, que faz com que a integral não mude se a função sofrer pequenas alterações. Para resolver isso, vamos usar a equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta essencial nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada na nossa integral:
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

A próxima etapa é aplicar a equação de Euler-Lagrange, que nos dá uma condição que a função deve satisfazer para que a integral seja estacionária. A fórmula geral da equação de Euler-Lagrange é:
Onde é a função dentro da integral.

Passo 4

No nosso caso, a função é:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
ã

Passo 5

Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Ou seja:

Passo 6

Essa equação nos diz que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de :

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos :

Passo 8

Vamos chamar , onde é um ângulo. Então, temos:
E:

Passo 9

Substituindo de volta na equação, temos:
Isso implica que deve ser zero para que a equação seja válida para todos os , já que não pode depender de .

Passo 10

Se , então . Isso significa que a derivada de é zero, ou seja, é uma função constante.

Resposta

A solução que torna a integral estacionária é uma função constante, ou seja:

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