Determine e descreva o caminho
para o qual a integral
é estacionária.
é estacionária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de variações, que faz parte do cálculo diferencial. A ideia é encontrar a função
que torna a integral dada estacionária, ou seja, que faz com que a integral não mude se a função
sofrer pequenas alterações. Para resolver isso, vamos usar a equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta essencial nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada na nossa integral:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
A próxima etapa é aplicar a equação de Euler-Lagrange, que nos dá uma condição que a função
deve satisfazer para que a integral seja estacionária. A fórmula geral da equação de Euler-Lagrange é:
Onde
é a função dentro da integral.
Passo 4
No nosso caso, a função
é:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Ou seja:
Passo 6
Essa equação nos diz que a expressão dentro da derivada é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Passo 8
Vamos chamar
, onde
é um ângulo. Então, temos:
E:
Passo 9
Substituindo de volta na equação, temos:
Isso implica que
deve ser zero para que a equação seja válida para todos os
, já que
não pode depender de
.
Passo 10
Se
, então
. Isso significa que a derivada de
é zero, ou seja,
é uma função constante.
Resposta
A solução que torna a integral estacionária é uma função constante, ou seja: