Faça o mesmo que no Problema 6.1, mas determine o comprimento de um caminho sobre um cilindro de raio usando coordenadas cilíndricas polares ( ). Assuma que o caminho é especificado da forma .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar o comprimento de um caminho sobre um cilindro de raio usando coordenadas cilíndricas polares ( ). A jornada está definida por . Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva em coordenadas cilíndricas e usar um pouco de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é definido por três valores:
  • : a distância radial do ponto até o eixo ,
  • : o ângulo em relação ao eixo ,
  • : a altura do ponto em relação ao plano .
Como estamos lidando com um cilindro de raio , sabemos que para qualquer ponto no cilindro.

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento de uma curva definida em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula geral do comprimento de arco. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula é:
Mas, como é constante no cilindro, sua derivada em relação a é zero, ou seja, .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Essa integral nos dá o comprimento do caminho no cilindro entre as alturas e . Dependendo da função , podemos precisar resolver essa integral para encontrar explicitamente. Mas, a expressão geral para o comprimento do caminho é:

Resposta

O comprimento do caminho sobre o cilindro é dado por:

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