Faça o mesmo que no Problema 6.1, mas determine o comprimento
de um caminho sobre um cilindro de raio
usando coordenadas cilíndricas polares (
). Assuma que o caminho é especificado da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar o comprimento
de um caminho sobre um cilindro de raio
usando coordenadas cilíndricas polares (
). A jornada está definida por
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva em coordenadas cilíndricas e usar um pouco de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é definido por três valores:
-
: a distância radial do ponto até o eixo , -
: o ângulo em relação ao eixo , -
: a altura do ponto em relação ao plano .
Como estamos lidando com um cilindro de raio
, sabemos que
para qualquer ponto no cilindro.
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento de uma curva definida em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula geral do comprimento de arco. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula é:
Mas, como
é constante no cilindro, sua derivada em relação a
é zero, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula, temos:
Passo 5
Essa integral nos dá o comprimento do caminho no cilindro entre as alturas
e
. Dependendo da função
, podemos precisar resolver essa integral para encontrar
explicitamente. Mas, a expressão geral para o comprimento do caminho é:
Resposta
O comprimento
do caminho sobre o cilindro é dado por: