Um avião, cuja velocidade é
, deve viajar da cidade
(na origem) até a cidade
, a qual está a uma distância
em direção ao leste. Há um vento ameno e constante de tal forma que
, onde
e
são medidos a leste e a norte, respectivamente. Determine o caminho,
, no qual o avião deve seguir para minimizar seu tempo de voo, da seguinte forma: (b) Expresse o tempo de voo como uma integral da forma
. Mostre que, se assumirmos que
e
permanecem pequenos (como é razoável se a velocidade do vento não for muito grande), então o integrando
assumirá a forma aproximada
(vezes uma constante sem interesse) onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um avião que precisa voar da cidade O até a cidade P, que está a uma distância D para o leste. Tem um vento constante na direção leste com velocidade
. A gente precisa descobrir qual caminho
o avião deve seguir para minimizar o tempo de voo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de variações e otimização de trajetórias, basicamente aplicando um pouco de matemática para encontrar o melhor caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no tempo total de voo. O tempo que o avião leva para ir de O até P depende da distância que percorre e da velocidade efetiva com que ele se move nessa direção. A velocidade do avião em relação ao solo é a soma da sua própria velocidade
e a velocidade do vento
.
A componente da velocidade do vento na direção do movimento leste é
. Então, a velocidade efetiva na direção leste é
. Se o avião desvia um pouco para o norte ou sul, isso muda a sua trajetória e, consequentemente, o tempo de voo.
Para expressar o tempo total de voo, vamos integrar o inverso da velocidade efetiva ao longo da trajetória de O até P:
Onde
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o desvio do avião, dado por
, é pequeno. Isso significa que tanto a derivada
(que representa a inclinação da trajetória) quanto o ângulo
de desvio são pequenos. Quando esses valores são pequenos, podemos fazer aproximações para simplificar a expressão do integrando.
Primeiro, a distância diferencial que o avião percorre é dada por:
Para trajetórias pequenas,
é muito pequeno, então
.
Então, o tempo diferencial de voo fica:
Vamos fatorar
do denominador para simplificar:
Onde definimos
. Como
é uma constante, podemos ignorar os termos constantes que não afetam a otimização do caminho. Portanto, o integrando fica:
Resposta
O tempo de voo pode ser expresso como a integral
onde
.