Um avião, cuja velocidade é , deve viajar da cidade (na origem) até a cidade , a qual está a uma distância em direção ao leste. Há um vento ameno e constante de tal forma que , onde e são medidos a leste e a norte, respectivamente. Determine o caminho, , no qual o avião deve seguir para minimizar seu tempo de voo, da seguinte forma: (b) Expresse o tempo de voo como uma integral da forma . Mostre que, se assumirmos que e permanecem pequenos (como é razoável se a velocidade do vento não for muito grande), então o integrando assumirá a forma aproximada (vezes uma constante sem interesse) onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um avião que precisa voar da cidade O até a cidade P, que está a uma distância D para o leste. Tem um vento constante na direção leste com velocidade . A gente precisa descobrir qual caminho o avião deve seguir para minimizar o tempo de voo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de variações e otimização de trajetórias, basicamente aplicando um pouco de matemática para encontrar o melhor caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no tempo total de voo. O tempo que o avião leva para ir de O até P depende da distância que percorre e da velocidade efetiva com que ele se move nessa direção. A velocidade do avião em relação ao solo é a soma da sua própria velocidade e a velocidade do vento .
A componente da velocidade do vento na direção do movimento leste é . Então, a velocidade efetiva na direção leste é . Se o avião desvia um pouco para o norte ou sul, isso muda a sua trajetória e, consequentemente, o tempo de voo.
Para expressar o tempo total de voo, vamos integrar o inverso da velocidade efetiva ao longo da trajetória de O até P:
Onde .

Passo 3

Agora, vamos considerar que o desvio do avião, dado por , é pequeno. Isso significa que tanto a derivada (que representa a inclinação da trajetória) quanto o ângulo de desvio são pequenos. Quando esses valores são pequenos, podemos fazer aproximações para simplificar a expressão do integrando.
Primeiro, a distância diferencial que o avião percorre é dada por:
Para trajetórias pequenas, é muito pequeno, então .
Então, o tempo diferencial de voo fica:
Vamos fatorar do denominador para simplificar:
Onde definimos . Como é uma constante, podemos ignorar os termos constantes que não afetam a otimização do caminho. Portanto, o integrando fica:

Resposta

O tempo de voo pode ser expresso como a integral
onde .

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