Determine a geodésica sobre o cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é . [Considere a curva tendo a forma .] Verifique o seu resultado para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Precisamos determinar a geodésica em um cone definido pela equação em coordenadas cilíndricas . Além disso, a curva que estamos estudando tem a forma . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, especificamente o cálculo das geodésicas em superfícies. Vamos precisar trabalhar com as equações das geodésicas e aplicar derivadas para encontrar a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma geodésica. Em geometria diferencial, uma geodésica é a curva mais curta entre dois pontos em uma superfície. No nosso caso, queremos encontrar essa curva no cone dado pela equação .

Passo 3

Vamos parametrizar o cone em coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas, um ponto é dado por . Como , podemos escrever a posição da curva como .

Passo 4

Para encontrar a geodésica, precisamos calcular a espécie de “caminho mais reto” no cone. Isso envolve usar a equação das geodésicas, que pode ser derivada usando o princípio do menor caminho ou através das equações de Euler-Lagrange.

Passo 5

Vamos usar a fórmula das geodésicas para uma superfície parametrizada. A equação geral para geodésicas em coordenadas cilíndricas é:
Essa equação vem da aplicação das equações de Euler-Lagrange para a métrica do cone.

Passo 6

Agora, resolvemos a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de segunda ordem. Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então a equação fica:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver por métodos de integração. Multiplicamos ambos os lados por :
Integrando, obtemos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , temos:
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Portanto, a equação da geodésica no cone é:
Isso nos dá a forma geral da geodésica em termos de .

Passo 10

Agora, vamos verificar o resultado para o caso em que . Quando tende a zero, o cone se torna um plano, já que , que é o eixo .

Passo 11

No caso , a equação da geodésica se simplifica para:
Mas, no plano, as geodésicas são linhas retas, o que corresponde a constante ou linear em dependendo da parametrização. Observamos que, ao tomar , a curva se aproxima de uma linha reta, confirmando que nossa solução está correta.

Resposta

A geodésica sobre o cone com a curva na forma é dada por:
onde e são constantes de integração. Para o caso em que , a geodésica se comporta como uma linha reta no plano, confirmando a consistência da solução.

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