Determine a geodésica sobre o cone cuja equação em coordenadas cilíndricas é
. [Considere a curva tendo a forma
.] Verifique o seu resultado para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Precisamos determinar a geodésica em um cone definido pela equação em coordenadas cilíndricas
. Além disso, a curva que estamos estudando tem a forma
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, especificamente o cálculo das geodésicas em superfícies. Vamos precisar trabalhar com as equações das geodésicas e aplicar derivadas para encontrar a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma geodésica. Em geometria diferencial, uma geodésica é a curva mais curta entre dois pontos em uma superfície. No nosso caso, queremos encontrar essa curva no cone dado pela equação
.
Passo 3
Vamos parametrizar o cone em coordenadas cilíndricas. Sabemos que em coordenadas cilíndricas, um ponto é dado por
. Como
, podemos escrever a posição da curva como
.
Passo 4
Para encontrar a geodésica, precisamos calcular a espécie de “caminho mais reto” no cone. Isso envolve usar a equação das geodésicas, que pode ser derivada usando o princípio do menor caminho ou através das equações de Euler-Lagrange.
Passo 5
Vamos usar a fórmula das geodésicas para uma superfície parametrizada. A equação geral para geodésicas em coordenadas cilíndricas é:
Essa equação vem da aplicação das equações de Euler-Lagrange para a métrica do cone.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de segunda ordem. Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então a equação fica:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver por métodos de integração. Multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando, obtemos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Portanto, a equação da geodésica no cone é:
Isso nos dá a forma geral da geodésica em termos de
.
Passo 10
Agora, vamos verificar o resultado para o caso em que
. Quando
tende a zero, o cone se torna um plano, já que
, que é o eixo
.
Passo 11
No caso
, a equação da geodésica se simplifica para:
Mas, no plano, as geodésicas são linhas retas, o que corresponde a
constante ou linear em
dependendo da parametrização. Observamos que, ao tomar
, a curva se aproxima de uma linha reta, confirmando que nossa solução está correta.
Resposta
A geodésica sobre o cone
com a curva na forma
é dada por:
onde
e
são constantes de integração. Para o caso em que
, a geodésica se comporta como uma linha reta no plano, confirmando a consistência da solução.