Determine a Lagrangiana, os momentos generalizados e a Hamiltoniana para uma partícula livre (sem forças atuando sobre ela) movendo-se em três dimensões. (Use
como as coordenadas generalizadas.) Determine e resolva as equações de Hamilton.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e o que precisamos saber para resolvê-la.
Enunciado resumido: Precisamos encontrar a Lagrangiana, os momentos generalizados e a Hamiltoniana para uma partícula livre (sem forças atuando sobre ela) que se move em três dimensões, usando as coordenadas
. Depois, vamos determinar e resolver as equações de Hamilton.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com Mecânica Lagrangiana e Mecânica Hamiltoniana, que são formas avançadas de descrever o movimento dos sistemas. A Lagrangiana geralmente é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial. Os momentos generalizados são derivados da Lagrangiana em relação às velocidades. A Hamiltoniana representa a energia total do sistema e é construída a partir da Lagrangiana e dos momentos. As equações de Hamilton nos dizem como o sistema evolui no tempo.
O que vamos precisar: Saber como escrever a Lagrangiana para uma partícula livre, como calcular os momentos generalizados, como obter a Hamiltoniana a partir da Lagrangiana, e como formular e resolver as equações de Hamilton para esse sistema.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a Lagrangiana para uma partícula livre em três dimensões.
Para uma partícula livre, não há forças atuando sobre ela, ou seja, a energia potencial
é zero. A Lagrangiana
é dada por:
Onde
é a energia cinética. Em três dimensões, a energia cinética de uma partícula de massa
é:
Como
, a Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular os momentos generalizados para cada coordenada
.
Os momentos generalizados
são dados pela derivada parcial da Lagrangiana em relação às velocidades generalizadas
:
Aplicando isso para cada coordenada:
Passo 4
Com os momentos generalizados em mãos, vamos construir a Hamiltoniana
.
A Hamiltoniana é dada por:
Substituindo
e
:
Agora, substituímos
,
,
:
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações de Hamilton. Elas são dadas por:
Aplicando isso para cada coordenada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos resolver as equações de Hamilton que encontramos.
Observamos que:
Isso significa que os momentos
são constantes no tempo. Vamos chamar esses constantes de
.
Então:
Agora, usando as equações para
:
Onde
são as posições iniciais da partícula.
Resposta
A solução das equações de Hamilton para a partícula livre em três dimensões é:
Isso descreve um movimento retilíneo uniforme para a partícula em cada uma das três direções.