Determine a Lagrangiana, os momentos generalizados e a Hamiltoniana para uma partícula livre (sem forças atuando sobre ela) movendo-se em três dimensões. (Use como as coordenadas generalizadas.) Determine e resolva as equações de Hamilton.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e o que precisamos saber para resolvê-la.
Enunciado resumido: Precisamos encontrar a Lagrangiana, os momentos generalizados e a Hamiltoniana para uma partícula livre (sem forças atuando sobre ela) que se move em três dimensões, usando as coordenadas . Depois, vamos determinar e resolver as equações de Hamilton.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com Mecânica Lagrangiana e Mecânica Hamiltoniana, que são formas avançadas de descrever o movimento dos sistemas. A Lagrangiana geralmente é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial. Os momentos generalizados são derivados da Lagrangiana em relação às velocidades. A Hamiltoniana representa a energia total do sistema e é construída a partir da Lagrangiana e dos momentos. As equações de Hamilton nos dizem como o sistema evolui no tempo.
O que vamos precisar: Saber como escrever a Lagrangiana para uma partícula livre, como calcular os momentos generalizados, como obter a Hamiltoniana a partir da Lagrangiana, e como formular e resolver as equações de Hamilton para esse sistema.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a Lagrangiana para uma partícula livre em três dimensões.
Para uma partícula livre, não há forças atuando sobre ela, ou seja, a energia potencial é zero. A Lagrangiana é dada por:
Onde é a energia cinética. Em três dimensões, a energia cinética de uma partícula de massa é:
Como , a Lagrangiana fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular os momentos generalizados para cada coordenada .
Os momentos generalizados são dados pela derivada parcial da Lagrangiana em relação às velocidades generalizadas :
Aplicando isso para cada coordenada:

Passo 4

Com os momentos generalizados em mãos, vamos construir a Hamiltoniana .
A Hamiltoniana é dada por:
Substituindo e :
Agora, substituímos , , :
Simplificando:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações de Hamilton. Elas são dadas por:
Aplicando isso para cada coordenada :
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos resolver as equações de Hamilton que encontramos.
Observamos que:
Isso significa que os momentos são constantes no tempo. Vamos chamar esses constantes de .
Então:
Agora, usando as equações para :
Onde são as posições iniciais da partícula.

Resposta

A solução das equações de Hamilton para a partícula livre em três dimensões é:
Isso descreve um movimento retilíneo uniforme para a partícula em cada uma das três direções.

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