Duas massas
e
estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas
e
como definidas na Seção 8.2. Resolva as equações
para o caso especial em que
e descreva o movimento.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos duas massas,
e
, ligadas por uma mola que não tem massa própria. Elas estão se mexendo num plano horizontal sem atrito. O exercício quer que a gente resolva as equações para a posição relativa
no caso especial em que o momento angular
. Basicamente, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como centro de massa e movimento relativo, para entender como essas massas se movem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como a gente define o centro de massa (
) e a posição relativa (
). O centro de massa é dado por:
E a posição relativa é:
Essas duas definições nos ajudam a separar o movimento do centro de massa do movimento relativo entre as duas massas.
Passo 3
Como não tem atrito no plano, a única força que atua nas massas é a força da mola. A constante da mola é
e o comprimento natural dela é
. A força da mola é dada por Hooke:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Agora, vamos escrever as equações de movimento para o centro de massa e para a posição relativa. Para o centro de massa:
Isso significa que o centro de massa se move com velocidade constante, já que não há forças externas atuando nele.
Passo 5
Para o movimento relativo, a equação de Newton fica:
Onde
é a massa reduzida, definida por:
Passo 6
O exercício nos dá que
, que é o momento angular em coordenadas polares. Isso indica que não há movimento angular, ou seja, a trajetória é puramente radial. Então, podemos simplificar nossa equação para apenas a parte radial.
Passo 7
Com
, a equação para
se torna:
Isso é uma equação diferencial para
, que descreve um movimento harmônico simples em torno de
.
Passo 8
Resolvendo a equação diferencial:
A solução geral dessa equação é uma combinação da solução homogênea e uma solução particular. A solução homogênea é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 9
Então, o movimento descrito é uma oscilação harmônica ao redor do comprimento natural da mola
. As massas
e
se movem de forma que a distância entre elas oscila com uma frequência determinada por
.
Resposta
As massas executam um movimento harmônico simples radial ao redor do comprimento natural
da mola, oscilando com frequência
, onde
.