Duas massas e estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas e como definidas na Seção 8.2. Resolva as equações para o caso especial em que e descreva o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos duas massas, e , ligadas por uma mola que não tem massa própria. Elas estão se mexendo num plano horizontal sem atrito. O exercício quer que a gente resolva as equações para a posição relativa no caso especial em que o momento angular . Basicamente, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como centro de massa e movimento relativo, para entender como essas massas se movem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como a gente define o centro de massa ( ) e a posição relativa ( ). O centro de massa é dado por:
E a posição relativa é:
Essas duas definições nos ajudam a separar o movimento do centro de massa do movimento relativo entre as duas massas.

Passo 3

Como não tem atrito no plano, a única força que atua nas massas é a força da mola. A constante da mola é e o comprimento natural dela é . A força da mola é dada por Hooke:
Aqui, é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações de movimento para o centro de massa e para a posição relativa. Para o centro de massa:
Isso significa que o centro de massa se move com velocidade constante, já que não há forças externas atuando nele.

Passo 5

Para o movimento relativo, a equação de Newton fica:
Onde é a massa reduzida, definida por:

Passo 6

O exercício nos dá que , que é o momento angular em coordenadas polares. Isso indica que não há movimento angular, ou seja, a trajetória é puramente radial. Então, podemos simplificar nossa equação para apenas a parte radial.

Passo 7

Com , a equação para se torna:
Isso é uma equação diferencial para , que descreve um movimento harmônico simples em torno de .

Passo 8

Resolvendo a equação diferencial:
A solução geral dessa equação é uma combinação da solução homogênea e uma solução particular. A solução homogênea é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 9

Então, o movimento descrito é uma oscilação harmônica ao redor do comprimento natural da mola . As massas e se movem de forma que a distância entre elas oscila com uma frequência determinada por .

Resposta

As massas executam um movimento harmônico simples radial ao redor do comprimento natural da mola, oscilando com frequência , onde .

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