Uma conta de massa
está presa a um fio, sem atrito, que está curvado em forma de espiral com coordenadas polares
, satisfazendo
e
, com
e
constantes. O eixo
aponta verticalmente para cima e a gravidade verticalmente para baixo. Usando
como a coordenada generalizada, obtenha a energia cinética e a potencial e, em seguida, a Hamiltoniana como uma função de
e o seu momento conjugado
. Obtenha as equações de Hamilton, resolva para
, em seguida, para
. Explique seu resultado em termos da mecânica Newtoniana e discuta o caso especial em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica clássica envolvendo energia cinética, potencial e a Hamiltoniana. A situação é a seguinte: uma massa
está presa a um fio que forma uma espiral em coordenadas polares
, com
e
, onde
e
são constantes. O eixo
está apontando para cima e a gravidade puxa para baixo. Nosso objetivo é usar
como coordenada generalizada para encontrar a energia cinética, a energia potencial, a Hamiltoniana, as equações de Hamilton, e depois resolver para
e
. No final, vamos interpretar os resultados com a mecânica newtoniana e ver o que acontece quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são energia cinética e potencial nessa situação. A energia cinética (
) está ligada ao movimento da massa, enquanto a energia potencial (
) está relacionada à posição da massa no campo gravitacional.
Passo 3
Como a massa está se movendo em uma espiral fixa, precisamos expressar suas coordenadas em termos de
. Sabemos que
e
. Em coordenadas polares, a posição da massa é dada por:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade da massa. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Como
é constante,
. Além disso, a derivada de
em relação a
é
, então:
Portanto, a velocidade fica:
Passo 5
A energia cinética (
) é dada por:
Onde
. Calculando:
Então, a energia cinética é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia potencial (
). A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde
é a acelera��ão da gravidade e
. Então:
Passo 7
Com
e
em mãos, podemos montar o Lagrangiano (
):
Passo 8
Para encontrar a Hamiltoniana (
), precisamos primeiro encontrar o momento conjugado (
) associado à coordenada
:
Agora, a Hamiltoniana é dada por:
Substituindo
em termos de
:
Então:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos obter as equações de Hamilton. As equações de Hamilton são:
Calculando:
Passo 10
Queremos encontrar
. Vamos derivar
em relação ao tempo:
Passo 11
Agora, para encontrar
, lembramos que
. Então:
Passo 12
Vamos interpretar os resultados. A equação para
nos mostra que a aceleração angular é constante e depende da gravidade
e dos parâmetros
e
. Para
, vemos que a aceleração vertical está relacionada proporcionalmente a
.
Agora, no caso especial onde
, a equação para
se torna:
E para
:
Isso significa que quando
, a aceleração vertical
é simplesmente
, que é a aceleração devido à gravidade, como esperamos na mecânica newtoniana. A partícula está caindo verticalmente com aceleração
, sem movimento angular.
Resposta
A solução divide-se em passos claros, culminando nas expressões para
e
, e interpreta-se que, quando
, a aceleração vertical corresponde à aceleração gravitacional
, alinhando-se com a mecânica newtoniana tradicional.