Uma conta de massa está presa a um fio, sem atrito, que está curvado em forma de espiral com coordenadas polares , satisfazendo e , com e constantes. O eixo aponta verticalmente para cima e a gravidade verticalmente para baixo. Usando como a coordenada generalizada, obtenha a energia cinética e a potencial e, em seguida, a Hamiltoniana como uma função de e o seu momento conjugado . Obtenha as equações de Hamilton, resolva para , em seguida, para . Explique seu resultado em termos da mecânica Newtoniana e discuta o caso especial em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica clássica envolvendo energia cinética, potencial e a Hamiltoniana. A situação é a seguinte: uma massa está presa a um fio que forma uma espiral em coordenadas polares , com e , onde e são constantes. O eixo está apontando para cima e a gravidade puxa para baixo. Nosso objetivo é usar como coordenada generalizada para encontrar a energia cinética, a energia potencial, a Hamiltoniana, as equações de Hamilton, e depois resolver para e . No final, vamos interpretar os resultados com a mecânica newtoniana e ver o que acontece quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são energia cinética e potencial nessa situação. A energia cinética ( ) está ligada ao movimento da massa, enquanto a energia potencial ( ) está relacionada à posição da massa no campo gravitacional.

Passo 3

Como a massa está se movendo em uma espiral fixa, precisamos expressar suas coordenadas em termos de . Sabemos que e . Em coordenadas polares, a posição da massa é dada por:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade da massa. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Como é constante, . Além disso, a derivada de em relação a é , então:
Portanto, a velocidade fica:

Passo 5

A energia cinética ( ) é dada por:
Onde . Calculando:
Então, a energia cinética é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia potencial ( ). A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde é a acelera��ão da gravidade e . Então:

Passo 7

Com e em mãos, podemos montar o Lagrangiano ( ):

Passo 8

Para encontrar a Hamiltoniana ( ), precisamos primeiro encontrar o momento conjugado ( ) associado à coordenada :
Agora, a Hamiltoniana é dada por:
Substituindo em termos de :
Então:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos obter as equações de Hamilton. As equações de Hamilton são:
Calculando:

Passo 10

Queremos encontrar . Vamos derivar em relação ao tempo:

Passo 11

Agora, para encontrar , lembramos que . Então:

Passo 12

Vamos interpretar os resultados. A equação para nos mostra que a aceleração angular é constante e depende da gravidade e dos parâmetros e . Para , vemos que a aceleração vertical está relacionada proporcionalmente a .
Agora, no caso especial onde , a equação para se torna:
E para :
Isso significa que quando , a aceleração vertical é simplesmente , que é a aceleração devido à gravidade, como esperamos na mecânica newtoniana. A partícula está caindo verticalmente com aceleração , sem movimento angular.

Resposta

A solução divide-se em passos claros, culminando nas expressões para e , e interpreta-se que, quando , a aceleração vertical corresponde à aceleração gravitacional , alinhando-se com a mecânica newtoniana tradicional.

Exercícios de Livros Relacionados