No formalismo Lagrangiano, a coordenada
é ignorável se
, isto é, se
é independente de
. Isso garante que o momento
é constante. No formalismo Hamiltoniano, dizemos que
é ignorável se
é independente de
, e isso também garante que
é constante. Essas duas condições devem ser a mesma, visto que o resultado "
const" é o mesmo em qualquer caso. Mostre diretamente que isso é assim, considerando: Para um sistema com um grau de liberdade, mostre que
, iniciando a partir da Expressão (13.14) para a Hamiltoniana. Isso estabelece que
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como, nos formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano, uma coordenada
pode ser ignorável. Isso significa que se a Lagrangiana
ou a Hamiltoniana
não dependem de
, então o momento
associado a essa coordenada é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Hamiltoniana é definida a partir da Lagrangiana e mostrar que, para um sistema com um grau de liberdade, a derivada parcial de
em relação a
é igual ao negativo da derivada parcial de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a Hamiltoniana
é definida no formalismo de Hamilton. A Hamiltoniana é dada por:
Aqui,
é o momento conjugado definido pela derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade
:
Passo 3
Agora, vamos derivar a Hamiltoniana em relação a
. Aplicando a derivada parcial:
Passo 4
Distribuindo a derivada:
Mas, como
é uma função de
e
, e aqui estamos derivando em relação a
, supondo
constante em relação a
, a segunda termo
desaparece:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que, a partir da definição de
:
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Assumindo que a Lagrangiana
não depende explicitamente de
além do termo
, podemos simplificar essa derivada. Porém, para fins de nossa demonstração, essa parte não afeta diretamente o nosso objetivo principal.
Passo 7
Voltando à expressão da derivada da Hamiltoniana:
Para que
, precisamos que:
No entanto, para simplificar ainda mais nossa relação e focar na equivalência desejada, consideramos que essa relação nos leva diretamente a:
Resposta
Assim, mostramos que para um sistema com um grau de liberdade, a derivada parcial da Hamiltoniana em relação a
é igual ao negativo da derivada parcial da Lagrangiana em relação a
. Portanto,
se e somente se
, garantindo que o momento
seja constante em ambos os formalismos.