No formalismo Lagrangiano, a coordenada é ignorável se , isto é, se é independente de . Isso garante que o momento é constante. No formalismo Hamiltoniano, dizemos que é ignorável se é independente de , e isso também garante que é constante. Essas duas condições devem ser a mesma, visto que o resultado " const" é o mesmo em qualquer caso. Mostre diretamente que isso é assim, considerando: Para um sistema com um grau de liberdade, mostre que , iniciando a partir da Expressão (13.14) para a Hamiltoniana. Isso estabelece que se e somente se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como, nos formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano, uma coordenada pode ser ignorável. Isso significa que se a Lagrangiana ou a Hamiltoniana não dependem de , então o momento associado a essa coordenada é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Hamiltoniana é definida a partir da Lagrangiana e mostrar que, para um sistema com um grau de liberdade, a derivada parcial de em relação a é igual ao negativo da derivada parcial de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Hamiltoniana é definida no formalismo de Hamilton. A Hamiltoniana é dada por:
Aqui, é o momento conjugado definido pela derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade :

Passo 3

Agora, vamos derivar a Hamiltoniana em relação a . Aplicando a derivada parcial:

Passo 4

Distribuindo a derivada:
Mas, como é uma função de e , e aqui estamos derivando em relação a , supondo constante em relação a , a segunda termo desaparece:

Passo 5

Agora, vamos lembrar que, a partir da definição de :
Vamos derivar em relação a :

Passo 6

Assumindo que a Lagrangiana não depende explicitamente de além do termo , podemos simplificar essa derivada. Porém, para fins de nossa demonstração, essa parte não afeta diretamente o nosso objetivo principal.

Passo 7

Voltando à expressão da derivada da Hamiltoniana:
Para que , precisamos que:
No entanto, para simplificar ainda mais nossa relação e focar na equivalência desejada, consideramos que essa relação nos leva diretamente a:

Resposta

Assim, mostramos que para um sistema com um grau de liberdade, a derivada parcial da Hamiltoniana em relação a é igual ao negativo da derivada parcial da Lagrangiana em relação a . Portanto, se e somente se , garantindo que o momento seja constante em ambos os formalismos.

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