Determine o rotacional,
, para as seguintes forças: (a)
; onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o rotacional, ou seja, o curl da força
, onde
é uma constante e
é o vetor posição. O conteúdo que vamos usar aqui é do cálculo vetorial, especificamente o cálculo de rotacional (curl). Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial usando as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional (ou curl). O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Isso nos dá um novo vetor que indica a tendência de rotação do campo vetorial em cada ponto do espaço.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes de
. Como
e
, temos:
Então,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada termo do rotacional separadamente.
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Passo 5
Colocando tudo junto, o rotacional de
é:
Isso significa que o campo vetorial
não possui rotação em nenhum ponto do espaço.
Resposta
O rotacional de
é
.