Determine o rotacional, , para as seguintes forças: (a) ; onde e são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o rotacional, ou seja, o curl da força , onde é uma constante e é o vetor posição. O conteúdo que vamos usar aqui é do cálculo vetorial, especificamente o cálculo de rotacional (curl). Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial usando as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional (ou curl). O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Isso nos dá um novo vetor que indica a tendência de rotação do campo vetorial em cada ponto do espaço.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes de . Como e , temos:
Então, , e .

Passo 4

Vamos calcular cada termo do rotacional separadamente.
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:

Passo 5

Colocando tudo junto, o rotacional de é:
Isso significa que o campo vetorial não possui rotação em nenhum ponto do espaço.

Resposta

O rotacional de é .

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