Na vizinhança do ponto onde estou em pé sobre a superfície de um planeta X , a força gravitacional sobre uma massa
é verticalmente para baixo, mas possui magnitude
, onde
é uma constante e
é a altura da massa acima da horizontal correspondente ao solo. Se largamos a conta do repouso a uma altura
, qual é sua velocidade ao atingir o solo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de massa
que está sendo puxado para baixo pela força gravitacional em uma altura
acima do solo de um planeta X. A força gravitacional aqui não é constante, mas sim proporcional a
, ou seja,
, onde
é uma constante. A gente vai largar o objeto do repouso de uma altura
e queremos descobrir qual será a velocidade dele quando atingir o solo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como trabalho e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força é igual à mudança na energia cinética do objeto. Como o objeto parte do repouso, toda a energia vem do trabalho feito pela força gravitacional durante a queda.
O trabalho
realizado pela força
ao mover o objeto de uma altura
até o solo pode ser calculado através da integral:
Substituindo
por
:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
A antiderivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, essa energia de trabalho transformou-se em energia cinética (
) quando o objeto atinge o solo. A energia cinética é dada por:
Como o trabalho
é igual à energia cinética:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade
. Primeiro, podemos cancelar a massa
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade do objeto ao atingir o solo é: