Na vizinhança do ponto onde estou em pé sobre a superfície de um planeta X , a força gravitacional sobre uma massa é verticalmente para baixo, mas possui magnitude , onde é uma constante e é a altura da massa acima da horizontal correspondente ao solo. Se largamos a conta do repouso a uma altura , qual é sua velocidade ao atingir o solo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de massa que está sendo puxado para baixo pela força gravitacional em uma altura acima do solo de um planeta X. A força gravitacional aqui não é constante, mas sim proporcional a , ou seja, , onde é uma constante. A gente vai largar o objeto do repouso de uma altura e queremos descobrir qual será a velocidade dele quando atingir o solo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como trabalho e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força é igual à mudança na energia cinética do objeto. Como o objeto parte do repouso, toda a energia vem do trabalho feito pela força gravitacional durante a queda.
O trabalho realizado pela força ao mover o objeto de uma altura até o solo pode ser calculado através da integral:
Substituindo por :

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, essa energia de trabalho transformou-se em energia cinética ( ) quando o objeto atinge o solo. A energia cinética é dada por:
Como o trabalho é igual à energia cinética:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade . Primeiro, podemos cancelar a massa dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade do objeto ao atingir o solo é:

Exercícios de Livros Relacionados