Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo . (a) Calcule a força gravitacional sobre uma massa pontual a uma distância do eixo . (A força gravitacional entre duas massas pontuais está dada no Problema 4.21.)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma haste infinitamente longa com massa uniforme por unidade de comprimento, posicionada ao longo do eixo . Queremos calcular a força gravitacional que essa haste exerce sobre uma massa pontual que está a uma distância do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação universal e cálculo de integrais para somar as forças de todos os elementos infinitesimais da haste.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno pedaço da haste, localizado em uma posição ao longo do eixo . A massa desse pedaço infinitesimal é .

Passo 3

A força gravitacional entre duas massas pontuais é dada pela lei da gravitação universal de Newton:
onde é a constante gravitacional, é a distância entre as duas massas, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

No nosso caso, a distância entre o elemento da haste e a massa pontual é dada pelo teorema de Pitágoras:

Passo 5

A força gravitacional terá componentes ao longo das direções radiais e ao longo do eixo . Devido à simetria do problema, as componentes ao longo do eixo se cancelam quando integradas ao longo de toda a haste. Portanto, apenas a componente radial contribui para a força total.

Passo 6

A componente radial da força é:

Passo 7

Para encontrar a força total, integramos de até :

Passo 8

Resolvendo a integral, usamos a substituição , , e a integral se simplifica para:

Passo 9

Substituindo o resultado da integral na expressão original:

Resposta

A força gravitacional sobre a massa pontual é:

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