Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme
por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo
. (a) Calcule a força gravitacional
sobre uma massa pontual
a uma distância
do eixo
. (A força gravitacional entre duas massas pontuais está dada no Problema 4.21.)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma haste infinitamente longa com massa uniforme
por unidade de comprimento, posicionada ao longo do eixo
. Queremos calcular a força gravitacional
que essa haste exerce sobre uma massa pontual
que está a uma distância
do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação universal e cálculo de integrais para somar as forças de todos os elementos infinitesimais da haste.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um pequeno pedaço da haste, localizado em uma posição
ao longo do eixo
. A massa desse pedaço infinitesimal é
.
Passo 3
A força gravitacional entre duas massas pontuais é dada pela lei da gravitação universal de Newton:
onde
é a constante gravitacional,
é a distância entre as duas massas, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
No nosso caso, a distância
entre o elemento da haste e a massa pontual
é dada pelo teorema de Pitágoras:
Passo 5
A força gravitacional
terá componentes ao longo das direções radiais e ao longo do eixo
. Devido à simetria do problema, as componentes ao longo do eixo
se cancelam quando integradas ao longo de toda a haste. Portanto, apenas a componente radial contribui para a força total.
Passo 6
A componente radial da força é:
Passo 7
Para encontrar a força total, integramos
de
até
:
Passo 8
Resolvendo a integral, usamos a substituição
,
, e a integral se simplifica para:
Passo 9
Substituindo o resultado da integral na expressão original:
Resposta
A força gravitacional sobre a massa pontual
é: