Considere uma massa em um campo gravitacional , de modo que a força sobre é , onde é um vetor constante apontando na direção vertical para baixo. Se a massa se move por um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2 , mostre que o trabalho realizado pela gravidade é , onde é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 . Use esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos, em uma região suficientemente pequena onde pode ser considerada constante).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma massa sujeita a um campo gravitacional , que aponta para baixo. A força que a gravidade exerce sobre a massa é . A gente quer descobrir o trabalho que essa força faz quando a massa se move de um ponto 1 para um ponto 2, passando por qualquer caminho. E depois, usar esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa, ou seja, o trabalho dela só depende dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho realizado por uma força e o que significa uma força ser conservativa. Vamos usar a fórmula do trabalho e algumas propriedades das forças conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. O trabalho realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de um caminho é dado pela integral da força ao longo desse caminho. Matematicamente, fica assim:
Aqui, é o caminho que a massa percorre e é um elemento infinitesimal desse caminho.

Passo 3

No nosso caso, a força da gravidade é . Como é constante e aponta para baixo, podemos escrever:
Agora, precisamos entender qual é a direção e o deslocamento da massa de 1 para 2.

Passo 4

Vamos considerar que a massa desce ou sobe uma altura vertical . Se é positivo quando a massa desce e negativo quando sobe, o deslocamento vertical é . A força da gravidade está na direção vertical para baixo, então o ângulo entre e é 0° se a massa desce e 180° se sobe.

Passo 5

O produto escalar depende apenas das componentes na direção vertical, já que as outras direções não contribuem para o trabalho da gravidade. Assim, podemos simplificar a integral:
Mas como é 0° ou 180°, é 1 ou -1. Integrando ao longo do caminho vertical, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:
Isso significa que o trabalho da gravidade depende apenas da diferença de altura entre os pontos 1 e 2, não do caminho seguido.

Passo 7

Agora, para mostrar que a força da gravidade é conservativa, precisamos ver que o trabalho realizado por ela só depende dos pontos inicial e final, não do caminho. Como chegamos a , que depende só de , concluímos que a força da gravidade é conservativa, pelo menos em regiões onde é constante.

Resposta

O trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de 1 para 2 é , demonstrando que a força da gravidade é conservativa nessa região.

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