Considere uma massa
em um campo gravitacional
, de modo que a força sobre
é
, onde
é um vetor constante apontando na direção vertical para baixo. Se a massa se move por um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2 , mostre que o trabalho realizado pela gravidade é
, onde
é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 . Use esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos, em uma região suficientemente pequena onde
pode ser considerada constante).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma massa
sujeita a um campo gravitacional
, que aponta para baixo. A força que a gravidade exerce sobre a massa é
. A gente quer descobrir o trabalho que essa força faz quando a massa se move de um ponto 1 para um ponto 2, passando por qualquer caminho. E depois, usar esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa, ou seja, o trabalho dela só depende dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho realizado por uma força e o que significa uma força ser conservativa. Vamos usar a fórmula do trabalho e algumas propriedades das forças conservativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. O trabalho
realizado por uma força
ao mover um objeto ao longo de um caminho é dado pela integral da força ao longo desse caminho. Matematicamente, fica assim:
Aqui,
é o caminho que a massa percorre e
é um elemento infinitesimal desse caminho.
Passo 3
No nosso caso, a força da gravidade é
. Como
é constante e aponta para baixo, podemos escrever:
Agora, precisamos entender qual é a direção e o deslocamento da massa de 1 para 2.
Passo 4
Vamos considerar que a massa desce ou sobe uma altura vertical
. Se
é positivo quando a massa desce e negativo quando sobe, o deslocamento vertical é
. A força da gravidade
está na direção vertical para baixo, então o ângulo entre
e
é 0° se a massa desce e 180° se sobe.
Passo 5
O produto escalar
depende apenas das componentes na direção vertical, já que as outras direções não contribuem para o trabalho da gravidade. Assim, podemos simplificar a integral:
Mas como
é 0° ou 180°,
é 1 ou -1. Integrando ao longo do caminho vertical, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, obtemos:
Isso significa que o trabalho da gravidade depende apenas da diferença de altura
entre os pontos 1 e 2, não do caminho seguido.
Passo 7
Agora, para mostrar que a força da gravidade é conservativa, precisamos ver que o trabalho realizado por ela só depende dos pontos inicial e final, não do caminho. Como chegamos a
, que depende só de
, concluímos que a força da gravidade é conservativa, pelo menos em regiões onde
é constante.
Resposta
O trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de 1 para 2 é
, demonstrando que a força da gravidade é conservativa nessa região.