A dilatação do tempo implica que, quando um relório se move, relativo a um referencial , medições cuidadosas realizadas por observadores em irão notar que o relógio está funcionando mais lentamente. Isso não é de forma alguma a mesma coisa que dizer que um único observador em irá ver o relógio funcionando mais lentamente, e esta última declaração nem sempre é verdadeira. Para entendermos isso, lembre que o que vemos é determinado pela luz uma vez que ela alcança nossos olhos. Considere uma observadora posicionada ao lado do eixo quando um relógio se aproxima dela com velocidade ao longo do eixo. À medida que o relógio se move da posição até a , é registrado um tempo , mas, conforme medido pelos observadores auxiliares, o tempo entre os dois eventos ("relógio em " e "relógio em ") é . Entretanto, como está mais próximo do observador do que , a luz do relógio em irá alcançar o observador em um tempo mais curto do que a luz proveniente de . Portanto, o tempo entre os observadores verem o relógio e verem o relógio é menor do que . (b) Que instante de tempo a observadora verá uma vez que o relógio tenha passado por ela e esteja se movendo para longe?
A moral deste problema é que você deve cuidar como declara ou pensa sobre a dilatação temporal. É apropriado dizer que “relógios em movimento são observados, ou medidos, funcionando mais lentamente”, mas é definitivamente errado dizer “relógios em movimento são vistos funcionando mais lentamente”.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre dilatação do tempo, que é um conceito da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Basicamente, quando um relógio está se movendo em relação a um observador, ele parece estar funcionando mais devagar para esse observador. No exercício, temos um relógio se movendo ao longo do eixo com velocidade , passando por uma observadora. A observadora registra tempos diferentes ao ver o relógio passar pelos pontos e porque a luz que vem desses pontos leva tempos diferentes para chegar até ela. Agora, na parte (b), queremos saber qual instante de tempo a observadora verá uma vez que o relógio passou por ela e está se movendo para longe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o que a observadora vê não é exatamente o que está acontecendo no instante presente no referencial do relógio, por causa do tempo que a luz leva para chegar até ela. Quando o relógio está se aproximando, a luz que ele emite quando está perto chega mais rapidamente, mas quando ele está se afastando, a luz leva mais tempo para chegar até a observadora. Isso afeta como ela percebe o tempo no relógio.
Passo 3
Vamos usar a relação da dilatação do tempo da Relatividade Especial, que é dada por:
onde:
é o intervalo de tempo medido pelos observadores auxiliares,
é o intervalo de tempo próprio (tempo medido pelo relógio em movimento),
é o fator de Lorentz.
Aqui, como o relógio está se afastando, a luz que ele emite depois de passar pela observadora leva mais tempo para chegar até ela, fazendo com que o intervalo de tempo que ela vê () seja diferente de .
Passo 4
Para calcular o instante de tempo que a observadora verá após o relógio ter passado e estar se afastando, precisamos considerar o efeito do deslocamento Doppler relativístico. A frequência observada quando a fonte está se afastando é:
Isso implica que o intervalo de tempo observado está dilatado em relação ao intervalo de tempo próprio do relógio.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, o intervalo de tempo que a observadora verá () quando o relógio está se afastando é:
Isso mostra que é maior que , ou seja, o relógio parece estar funcionando mais devagar quando está se afastando.
Passo 6
Portanto, o instante de tempo que a observadora verá após o relógio passar por ela e começar a se afastar é dado por:
Isso leva em conta tanto a dilatação do tempo devido à velocidade do relógio quanto o atraso adicional causado pela luz levando mais tempo para chegar à observadora à medida que o relógio se afasta.
Resposta
A observadora verá que, após o relógio passar e começar a se afastar, o instante de tempo registrado será:
Isso significa que o tempo observado é maior que o tempo próprio , indicando que o relógio parece estar funcionando mais devagar enquanto se afasta.
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.10b