Um explorador espacial
parte com uma velocidade uniforme de
com respeito a uma estrela distante. Depois de explorar a estrela por um pequeno intervalo de tempo, ele retorna com a mesma velocidade e chega em casa depois de uma ausência total de 80 anos (conforme medido pelos observadores da Terra). Quanto tempo o relógio de
informa que ele esteve fora, e por quanto ele envelheceu quando comparado ao seu irmão gêmeo
que permaneceu na Terra?
[Observação: Este é o famoso “paradoxo dos gêmeos”. É muito fácil obter a resposta correta pela inserção criteriosa de um fator
no lugar certo, mas, para entendê-lo, você precisa reconhecer que ele envolve três referenciais inerciais: o referencial preso à Terra
, o referencial
do foguete de longo percurso e o referencial
do foguete ao retornar. Obtenha a fórmula de dilatação temporal para as duas metades da jornada e então some-as. Observe que o experimento não é simétrico entre os dois gêmeos:
permanece em repouso no referencial inercial
, mas
ocupa pelo menos dois referenciais diferentes. Isso é o que permite o resultado não ser simétrico.]
[Observação: Este é o famoso “paradoxo dos gêmeos”. É muito fácil obter a resposta correta pela inserção criteriosa de um fator
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o famoso “paradoxo dos gêmeos”. Basicamente, temos dois gêmeos: o gêmeo A que parte em uma viagem espacial a 0,95 vezes a velocidade da luz (
) e retorna, e o gêmeo B que fica na Terra. Queremos descobrir quanto tempo A sente que esteve viajando e quanto ele envelheceu comparado ao B, que ficou na Terra. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação do tempo da Relatividade Especial de Einstein, que nos mostra que o tempo passa de maneira diferente para quem está em movimento em relação a um observador estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a dilatação do tempo. Segundo a Relatividade Especial, quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz, o tempo para esse objeto passa mais devagar em relação a um observador que está parado. A fórmula para calcular essa dilatação do tempo é:
onde:
-
é o tempo percebido pelo viajante (gêmeo A), -
é o tempo percebido pelo observador na Terra (gêmeo B), -
é o fator de Lorentz, dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator de Lorentz (
) para a velocidade dada de
:
Passo 4
Agora, sabemos que o tempo total medido na Terra para a ida e volta é de 80 anos. Como a viagem de A envolve duas partes (ida e volta), cada parte leva 40 anos na perspectiva de B. Vamos aplicar a fórmula da dilatação do tempo para cada trecho da viagem.
Para cada trecho (ida ou volta):
Passo 5
Como A faz duas viagens (ida e volta), o tempo total que A percebeu durante toda a viagem é:
Passo 6
Portanto, o relógio de A marca aproximadamente 25 anos durante a viagem, enquanto na Terra, B ficou 80 anos. Isso significa que A envelheceu cerca de 25 anos, enquanto B envelheceu 80 anos durante o mesmo período.
Resposta
O relógio de A indica que ele esteve fora por aproximadamente 25 anos e ele envelheceu cerca de 25 anos, enquanto seu irmão gêmeo B na Terra envelheceu 80 anos.