Um explorador espacial parte com uma velocidade uniforme de com respeito a uma estrela distante. Depois de explorar a estrela por um pequeno intervalo de tempo, ele retorna com a mesma velocidade e chega em casa depois de uma ausência total de 80 anos (conforme medido pelos observadores da Terra). Quanto tempo o relógio de informa que ele esteve fora, e por quanto ele envelheceu quando comparado ao seu irmão gêmeo que permaneceu na Terra?
[Observação: Este é o famoso “paradoxo dos gêmeos”. É muito fácil obter a resposta correta pela inserção criteriosa de um fator no lugar certo, mas, para entendê-lo, você precisa reconhecer que ele envolve três referenciais inerciais: o referencial preso à Terra , o referencial do foguete de longo percurso e o referencial do foguete ao retornar. Obtenha a fórmula de dilatação temporal para as duas metades da jornada e então some-as. Observe que o experimento não é simétrico entre os dois gêmeos: permanece em repouso no referencial inercial , mas ocupa pelo menos dois referenciais diferentes. Isso é o que permite o resultado não ser simétrico.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o famoso “paradoxo dos gêmeos”. Basicamente, temos dois gêmeos: o gêmeo A que parte em uma viagem espacial a 0,95 vezes a velocidade da luz ( ) e retorna, e o gêmeo B que fica na Terra. Queremos descobrir quanto tempo A sente que esteve viajando e quanto ele envelheceu comparado ao B, que ficou na Terra. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação do tempo da Relatividade Especial de Einstein, que nos mostra que o tempo passa de maneira diferente para quem está em movimento em relação a um observador estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a dilatação do tempo. Segundo a Relatividade Especial, quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz, o tempo para esse objeto passa mais devagar em relação a um observador que está parado. A fórmula para calcular essa dilatação do tempo é:
onde:
  • é o tempo percebido pelo viajante (gêmeo A),
  • é o tempo percebido pelo observador na Terra (gêmeo B),
  • é o fator de Lorentz, dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( ) para a velocidade dada de :

Passo 4

Agora, sabemos que o tempo total medido na Terra para a ida e volta é de 80 anos. Como a viagem de A envolve duas partes (ida e volta), cada parte leva 40 anos na perspectiva de B. Vamos aplicar a fórmula da dilatação do tempo para cada trecho da viagem.
Para cada trecho (ida ou volta):

Passo 5

Como A faz duas viagens (ida e volta), o tempo total que A percebeu durante toda a viagem é:

Passo 6

Portanto, o relógio de A marca aproximadamente 25 anos durante a viagem, enquanto na Terra, B ficou 80 anos. Isso significa que A envelheceu cerca de 25 anos, enquanto B envelheceu 80 anos durante o mesmo período.

Resposta

O relógio de A indica que ele esteve fora por aproximadamente 25 anos e ele envelheceu cerca de 25 anos, enquanto seu irmão gêmeo B na Terra envelheceu 80 anos.

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