Quando um observador se move através do espaço com posição , o quadrivetor gera um caminho através do espaço-tempo chamado de linha mundo do observador. Considere dois eventos que ocorrem em ponto e no espaço-tempo. Mostre que, se os dois eventos, medidos pelo observador, ocorrem no mesmo instante de tempo , então a reta ligando a é ortogonal à linha mundo do observador no instante , isto é, 0 , onde liga dois pontos vizinhos sobre a linha mundo nos instantes .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre linha mundo no espaço-tempo, que é o caminho que um observador percorre nesse espaço. Temos dois eventos, e , que acontecem no mesmo instante de tempo para esse observador. O objetivo é mostrar que a reta que liga a é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com a linha mundo no momento . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade especial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linha mundo do observador. Ela é representada pelo quadrivetor , onde é a posição do observador no espaço em função do tempo , e é a velocidade da luz. Isso descreve como o observador se move no espaço-tempo.

Passo 3

Agora, considere dois eventos e que ocorrem no mesmo instante de tempo segundo o observador. Isso significa que as coordenadas temporais desses eventos são iguais. A reta que liga a pode ser representada pelo vetor , que é só a diferença das posições espaciais dos dois eventos.

Passo 4

Precisamos mostrar que esse vetor é ortogonal à linha mundo do observador no instante . Para isso, vamos calcular o produto escalar entre e o diferencial da linha mundo.

Passo 5

O diferencial representa uma pequena mudança na posição do observador no espaço-tempo. Como a linha mundo é , o diferencial será , onde .

Passo 6

O produto escalar entre e é dado por:
Como os eventos ocorrem no mesmo instante , a variação de tempo não afeta o ortogonalidade. O que queremos é que esse produto escalar seja igual a zero.

Passo 7

Para que o produto escalar seja zero, os vetores e devem ser perpendiculares. Ou seja:
Isso confirma que a reta ligando a é ortogonal à linha mundo no instante .

Resposta

Mostramos que , ou seja, a reta que liga os eventos e é ortogonal à linha mundo do observador no instante .

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