Quando um observador se move através do espaço com posição
, o quadrivetor
gera um caminho através do espaço-tempo chamado de linha mundo do observador. Considere dois eventos que ocorrem em ponto
e
no espaço-tempo. Mostre que, se os dois eventos, medidos pelo observador, ocorrem no mesmo instante de tempo
, então a reta ligando
a
é ortogonal à linha mundo do observador no instante
, isto é,
0 , onde
liga dois pontos vizinhos sobre a linha mundo nos instantes
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre linha mundo no espaço-tempo, que é o caminho que um observador percorre nesse espaço. Temos dois eventos,
e
, que acontecem no mesmo instante de tempo para esse observador. O objetivo é mostrar que a reta que liga
a
é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com a linha mundo no momento
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade especial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linha mundo do observador. Ela é representada pelo quadrivetor
, onde
é a posição do observador no espaço em função do tempo
, e
é a velocidade da luz. Isso descreve como o observador se move no espaço-tempo.
Passo 3
Agora, considere dois eventos
e
que ocorrem no mesmo instante de tempo
segundo o observador. Isso significa que as coordenadas temporais desses eventos são iguais. A reta que liga
a
pode ser representada pelo vetor
, que é só a diferença das posições espaciais dos dois eventos.
Passo 4
Precisamos mostrar que esse vetor
é ortogonal à linha mundo do observador no instante
. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre
e o diferencial
da linha mundo.
Passo 5
O diferencial
representa uma pequena mudança na posição do observador no espaço-tempo. Como a linha mundo é
, o diferencial será
, onde
.
Passo 6
O produto escalar entre
e
é dado por:
Como os eventos ocorrem no mesmo instante
, a variação de tempo
não afeta o ortogonalidade. O que queremos é que esse produto escalar seja igual a zero.
Passo 7
Para que o produto escalar seja zero, os vetores
e
devem ser perpendiculares. Ou seja:
Isso confirma que a reta ligando
a
é ortogonal à linha mundo no instante
.
Resposta
Mostramos que
, ou seja, a reta que liga os eventos
e
é ortogonal à linha mundo do observador no instante
.