A dilatação do tempo implica que, quando um relório se move, relativo a um referencial , medições cuidadosas realizadas por observadores em irão notar que o relógio está funcionando mais lentamente. Isso não é de forma alguma a mesma coisa que dizer que um único observador em irá ver o relógio funcionando mais lentamente, e esta última declaração nem sempre é verdadeira. Para entendermos isso, lembre que o que vemos é determinado pela luz uma vez que ela alcança nossos olhos. Considere uma observadora posicionada ao lado do eixo quando um relógio se aproxima dela com velocidade ao longo do eixo. À medida que o relógio se move da posição até a , é registrado um tempo , mas, conforme medido pelos observadores auxiliares, o tempo entre os dois eventos ("relógio em " e "relógio em ") é . Entretanto, como está mais próximo do observador do que , a luz do relógio em irá alcançar o observador em um tempo mais curto do que a luz proveniente de . Portanto, o tempo entre os observadores verem o relógio e verem o relógio é menor do que . (a) Mostre que
(que é menor do que ). Mostre ambas as igualdades.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente está falando sobre a dilatação do tempo na Teoria da Relatividade Especial. Basicamente, quando um relógio está se movendo em relação a um referencial, ele parece estar funcionando mais devagar para quem está parado. Aqui, temos um relógio se movendo ao longo do eixo com velocidade (ou , onde é a velocidade da luz). Precisamos mostrar duas igualdades que relacionam os tempos medidos no referencial em que o relógio está se movendo e o tempo que um observador realmente vê esse relógio funcionando.

Passo 2

Vamos começar definindo os tempos envolvidos:
  • : é o tempo registrado no referencial , ou seja, o tempo próprio do relógio entre os eventos "relógio em " e "relógio em ".
  • : é o tempo medido pelos observadores auxiliares no referencial, relacionado por .
  • : é o tempo que o observador realmente percebe entre ver o relógio em e em .

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilataç��o do tempo na Relatividade Especial:
onde e .

Passo 4

No entanto, o que o observador vê não é apenas afetado pela dilatação do tempo, mas também pelo fato de que a luz leva tempo para viajar do relógio até o observador. Como está mais perto do observador que , a luz de chega mais rápido. Isso reduz o tempo percebido .

Passo 5

Vamos relacionar e . A diferença na distância faz com que o tempo observado seja ajustado por um fator :

Passo 6

Agora, substituímos pela expressão da dilatação do tempo:

Passo 7

Substituindo :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:

Passo 9

Portanto, mostramos as duas igualdades:
Além disso, como para , concluímos que:

Resposta

Mostramos que:
e que é menor que .

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