A dilatação do tempo implica que, quando um relório se move, relativo a um referencial
, medições cuidadosas realizadas por observadores em
irão notar que o relógio está funcionando mais lentamente. Isso não é de forma alguma a mesma coisa que dizer que um único observador em
irá ver o relógio funcionando mais lentamente, e esta última declaração nem sempre é verdadeira. Para entendermos isso, lembre que o que vemos é determinado pela luz uma vez que ela alcança nossos olhos. Considere uma observadora posicionada ao lado do eixo
quando um relógio se aproxima dela com velocidade
ao longo do eixo. À medida que o relógio se move da posição
até a
, é registrado um tempo
, mas, conforme medido pelos observadores auxiliares, o tempo entre os dois eventos ("relógio em
" e "relógio em
") é
. Entretanto, como
está mais próximo do observador do que
, a luz do relógio em
irá alcançar o observador em um tempo mais curto do que a luz proveniente de
. Portanto, o tempo
entre os observadores verem o relógio
e verem o relógio
é menor do que
. (a) Mostre que
(que é menor do que
). Mostre ambas as igualdades.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente está falando sobre a dilatação do tempo na Teoria da Relatividade Especial. Basicamente, quando um relógio está se movendo em relação a um referencial, ele parece estar funcionando mais devagar para quem está parado. Aqui, temos um relógio se movendo ao longo do eixo
com velocidade
(ou
, onde
é a velocidade da luz). Precisamos mostrar duas igualdades que relacionam os tempos medidos no referencial em que o relógio está se movendo e o tempo que um observador realmente vê esse relógio funcionando.
Passo 2
Vamos começar definindo os tempos envolvidos:
-
: é o tempo registrado no referencial , ou seja, o tempo próprio do relógio entre os eventos "relógio em " e "relógio em ". -
: é o tempo medido pelos observadores auxiliares no referencial, relacionado por . -
: é o tempo que o observador realmente percebe entre ver o relógio em e em .
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilataç��o do tempo na Relatividade Especial:
onde
e
.
Passo 4
No entanto, o que o observador vê não é apenas afetado pela dilatação do tempo, mas também pelo fato de que a luz leva tempo para viajar do relógio até o observador. Como
está mais perto do observador que
, a luz de
chega mais rápido. Isso reduz o tempo percebido
.
Passo 5
Vamos relacionar
e
. A diferença na distância faz com que o tempo observado seja ajustado por um fator
:
Passo 6
Agora, substituímos
pela expressão da dilatação do tempo:
Passo 7
Substituindo
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Passo 9
Portanto, mostramos as duas igualdades:
Além disso, como
para
, concluímos que:
Resposta
Mostramos que:
e que
é menor que
.