Da mesma forma que a dilatação do tempo, a contração do comprimento não pode ser vista diretamente por um único observador. Para explicar essa afirmação, imagine uma haste de comprimento próprio
movendo-se ao longo do eixo
do referencial
e um observador posicionado longe do eixo
e à direita de haste completa. Medições cuidadosas do
comprimento da haste em qualquer instante, no referencial
dariam, certamente, o resultado
. (a) Explique claramente por que a luz que atinge os olhos do observador a qualquer instante deve ter partido dos dois pontos extremos
e
da haste em instantes direfentes.
comprimento da haste em qualquer instante, no referencial
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Estamos falando sobre a contração do comprimento, que é um conceito da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Precisamos entender por que a luz que chega aos olhos de um observador deve partir dos extremos de uma haste em momentos diferentes quando a haste está se movendo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade da luz e o movimento relativo afetam as observações do comprimento de objetos em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a contração do comprimento. Segundo a Relatividade Especial, quando um objeto está se movendo em relação a um observador, o comprimento desse objeto na direção do movimento parece ser menor para o observador do que o seu comprimento próprio (isto é, o comprimento medido no referencial onde o objeto está em repouso). A fórmula para isso é:
onde
é o comprimento contraído,
é o comprimento próprio, e
é o fator de Lorentz dado por:
com
sendo a velocidade da haste e
a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos imaginar a situação descrita: uma haste de comprimento próprio
está se movendo ao longo do eixo
do referencial
. Um observador está posicionado longe do eixo
e à direita da haste. Queremos entender por que a luz que atinge os olhos do observador em qualquer instante deve ter partido dos pontos extremos
e
da haste em instantes diferentes.
Passo 4
A chave aqui é entender que a haste está em movimento relativo ao observador. Quando a luz é emitida de cada extremo da haste, esses pontos estão em posições diferentes devido ao movimento. Se ambos os extremos emitissem luz no mesmo instante no referencial do observador, eles não estariam realmente emitindo ao mesmo tempo na referência da haste, porque a haste está se movendo.
Passo 5
Como a luz viaja a uma velocidade finita
, o tempo que a luz leva para chegar aos olhos do observador a partir de cada extremo depende de quando e de onde essa luz foi emitida. Como a haste está se movendo, o ponto que está para trás (digamos,
) está se afastando do observador, enquanto o ponto à frente (
) está se aproximando.
Passo 6
Portanto, para que a luz de ambos os extremos chegue ao observador ao mesmo instante, a luz de
deve ter sido emitida em um momento anterior à luz de
. Isso porque
está se afastando e a luz leva mais tempo para alcançá-lo, enquanto
está se aproximando e a luz chega mais rapidamente.
Passo 7
Isso significa que, do ponto de vista do observador, os eventos de emissão da luz dos pontos
e
não acontecem simultaneamente na referência da haste. Essa diferença nos tempos de emissão é necessária para que a luz de ambos os extremos chegue ao observador ao mesmo instante, resultando na percepção da haste contraída.
Resposta
A luz que atinge os olhos do observador simultaneamente deve ter sido emitida dos extremos
e
em momentos diferentes porque, devido ao movimento da haste, o ponto
está se afastando e
está se aproximando. Essa diferença nos instantes de emissão garante que a luz de ambos os pontos chegue ao observador ao mesmo tempo, fazendo com que a haste pareça contraída.