Um fio retilíneo metálico muito longo e outro formando círculo de raio a estão no mesmo plano. O centro do círculo encontra-se a uma distância d (d>a) do fio. Calcule a indutância mútua.

Passo 1

Nós temos um fio retilíneo infinito e uma espira circular de raio a no mesmo plano. O centro da espira está a uma distância d do fio, com d>a. O que se pede é a indutância mútua
M=PhiI,,
onde Phi é o fluxo do campo magnético gerado pelo fio através da área da espira quando passa uma corrente I.

Passo 2

O campo magnético produzido pelo fio retilíneo, a uma distância r dele, vale
B(r)=mu0,I2pi,r,,
e suas linhas são círculos concêntricos em planos perpendiculares ao fio. Como a espira está num plano que contém o fio, podemos tomar esse plano como o plano x!z e o fio como o eixo z. O vetor normal à espira é hat n=hat y. Num ponto (x,z) da espira tem-se r=|x| e o campo em componente y vale By=mu0I/(2pi|x|). Logo o fluxo é
Phi=integral duplaespiraBy,dA =mu0,I2piintegral duplaespiradAx,,
considerando orientação positiva para x>0.

Passo 3

Para parametrizar a espira, tome coordenadas polares centradas no centro da circunferência:
x = d + rcostheta, z = rsintheta, 0<= r<= a,;0<=theta<2pi,
e dA = r,dr,dtheta. Assim
integral duplaespiradAx =integral0^2pi!integral0^a r,dr,dthetad + rcostheta,
Portanto
M=PhiI =mu02piintegral0^2pi!integral0^a r,dr,dthetad + rcostheta,

Passo 4

A integral dupla acima pode ser expressa em termos de integrais elípticas completas. Definindo
k^2=4ad(d+a)^2,,
obtém-se, após manipulações padrões (veja, por exemplo, tabelas de integrais elípticas), a forma fechada
M =mu0piraizd^2 - a^2 l[(d+a),K(k);-;(d-a),E(k)r],
onde
K(k)=integral0^pi/2!dvarphiraiz1-k^2sin^2varphi
é a integral elíptica completa de primeira espécie
e
E(k)=integral0^pi/2!raiz1-k^2sin^2varphi,dvarphi
é a integral elíptica completa de segunda espécie.

Resposta

boxed M =mu0piraizd^2 - a^2 l[(d+a),K(k);-;(d-a),E(k)r], k^2=4ad(d+a)^2

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