Um fio retilíneo metálico muito longo e outro formando círculo de raio a estão no mesmo plano. O centro do círculo encontra-se a uma distância
do fio. Calcule a indutância mútua.
Passo 1
Nós temos um fio retilíneo infinito e uma espira circular de raio
no mesmo plano. O centro da espira está a uma distância
do fio, com
. O que se pede é a indutância mútua
onde
é o fluxo do campo magnético gerado pelo fio através da área da espira quando passa uma corrente
.
Passo 2
O campo magnético produzido pelo fio retilíneo, a uma distância
dele, vale
e suas linhas são círculos concêntricos em planos perpendiculares ao fio. Como a espira está num plano que contém o fio, podemos tomar esse plano como o plano
e o fio como o eixo
. O vetor normal à espira é
. Num ponto
da espira tem-se
e o campo em componente
vale
. Logo o fluxo é
considerando orientação positiva para
.
Passo 3
Para parametrizar a espira, tome coordenadas polares centradas no centro da circunferência:
e
. Assim
Portanto
Passo 4
A integral dupla acima pode ser expressa em termos de integrais elípticas completas. Definindo
obtém-se, após manipulações padrões (veja, por exemplo, tabelas de integrais elípticas), a forma fechada
onde
é a integral elíptica completa de primeira espécie
e
é a integral elíptica completa de segunda espécie.
é a integral elíptica completa de primeira espécie
e
é a integral elíptica completa de segunda espécie.