Como discutido na Seção 17.3, ondas sonoras difratam, ou se curvam, em torno das bordas de uma abertura de porta. Comprimentos de onda maiores difratam mais do que comprimentos de ondas menores. (a) A velocidade de propagação do som é igual a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com que velocidade uma pessoa de 55,0 \mathrm{~kg} teria que se mover ao atravessar uma porta para ocorrer uma difração comparável à de um som grave de 128 Hz ? (b) Na velocidade calculada no item (a), quanto tempo (em anos) seria necessário para que a pessoa se movesse de uma distância de um metro?

Passo 1

O enunciado compara a difração de uma onda sonora grave de frequência \,128\\ \mathrm{Hz}\, (velocidade do som 343\\ \mathrm{m/s}) com a “difração” de uma pessoa de massa 55{,}0\\ \mathrm{kg}. Para que a pessoa difrate do mesmo modo, sua onda de matéria de Broglie deve ter comprimento de onda igual ao da onda sonora. Vamos usar a relação de de Broglie e a definição de comprimento de onda de uma onda sonora para achar a velocidade necessária e depois o tempo para percorrer 1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

O comprimento de onda da onda sonora é
\lambda_{\text{som}}=\frac{343\\ \mathrm{m/s}}{128\\ \mathrm{Hz}}\approx2{,}68\\ \mathrm{m}.

Passo 3

A relação de de Broglie diz
\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{m\,v},
onde h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Igualando \lambda_{\text{dB}}=\lambda_{\text{som}} e isolando v,
v=\frac{h}{m\,\lambda_{\text{som}}} =\frac{6{,}626\times10^{-34}}{55{,}0\times2{,}68} \approx4{,}5\times10^{-36}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

O tempo para percorrer 1\\ \mathrm{m} a essa velocidade é
t=\frac{1\\ \mathrm{m}}{4{,}5\times10^{-36}\\ \mathrm{m/s}} \approx2{,}2\times10^{35}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para anos 1\\ \mathrm{ano}\approx3,15\times10^7\\ \mathrm{s},
t_{\text{anos}} =\frac{2{,}2\times10^{35}}{3{,}15\times10^7} \approx7{,}0\times10^{27}\\ \mathrm{anos}.

Resposta

(a) 4{,}5\times10^{-36}\\ \mathrm{m/s}
(b) 7{,}0\times10^{27}\\ \mathrm{anos}

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