**24. Um fóton de raios X é espalhado fazendo um ângulo \theta=180,0^{\circ} a partir de um elétron que está inicialmente em repouso. Depois do espalhamento, o elétron tem uma velocidade de 4,67 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ache o comprimento de onda do fóton de raios X incidente.

Passo 1

O enunciado trata de espalhamento de Compton de um fóton de raios X em um elétron inicialmente em repouso. O fóton é espalhado a \theta=180^\circ (volta-completa) e o elétron resultante adquire velocidade v=4{,}67\times10^6,m/s. Queremos achar o comprimento de onda incidente \lambda. Para isso vamos usar:
  1. A conservação de energia (diferença de energia dos fótons vira energia cinética do elétron).
  2. A fórmula do desvio de Compton: \lambda'-\lambda=(h/mc)(1-\cos\theta).

Passo 2

Calculamos a energia cinética do elétron usando a fórmula clássica (já que v\ll c):
K = \tfrac12\,m\,v^2,
com m=9{,}11\times10^{-31},kg e v=4{,}67\times10^6,m/s.
K = \tfrac12\,(9{,}11\times10^{-31})(4{,}67\times10^6)^2 \approx 9{,}94\times10^{-18}\text{ J}.

Passo 3

O desvio de Compton para \theta=180^\circ é
\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m\,c}\,(1 - \cos180^\circ) = 2\,\frac{h}{m\,c}.
Substituindo h=6{,}626\times10^{-34}, J\cdot s, c=3{,}00\times10^8,m/s e m=9{,}11\times10^{-31},kg, obtemos
\Delta\lambda \approx 4{,}85\times10^{-12}\text{ m}.

Passo 4

Pela conservação de energia temos
E_i - E_f = K,
onde E_i = \frac{h\,c}{\lambda} e E_f = \frac{h\,c}{\lambda'}. Como \lambda'=\lambda+\Delta\lambda,
\frac{h\,c}{\lambda} - \frac{h\,c}{\lambda+\Delta\lambda} = K.
Fatorando h\,c e rearranjando resulta
h\,c\;\frac{\Delta\lambda}{\lambda(\lambda+\Delta\lambda)} = K \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 + \Delta\lambda\,\lambda - \frac{h\,c\,\Delta\lambda}{K} = 0.
Essa é uma equação quadrática em \lambda. A solução fisicamente aceitável é
\lambda = \frac{-\Delta\lambda + \sqrt{(\Delta\lambda)^2 + 4\,(h\,c\,\Delta\lambda/K)}}{2}.

Passo 5

Substituindo numericamente
h\,c = 1{,}986\times10^{-25}\text{ J\cdotm},\quad \Delta\lambda = 4{,}85\times10^{-12}\text{ m},\quad K = 9{,}94\times10^{-18}\text{ J},
temos dentro da raiz aproximadamente 3{,}88\times10^{-19}, logo
\lambda \approx 3{,}09\times10^{-10}\text{ m}.

Resposta

\lambda = 3{,}09\times10^{-10} m (aproximadamente 0{,}309 nm).

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