*10. Um próton está localizado a uma distância de 0,420 \mathrm{~m} de uma carga pontual de +8,30 \mu \mathrm{C}. A força elétrica de repulsão move o próton até que ele esteja a uma distância de 1,58 \mathrm{~m} da carga. Suponha que a energia potencial elétrica perdida pelo sistema foi transportada para fora dele por um fóton. Qual seria seu comprimento de onda?

Passo 1

O enunciado dá uma carga pontual
Q = +8,30\times10^{-6}\,\mathrm{C}
e um próton de carga
q = +1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}
que se afasta de r_i=0,420\,\mathrm{m} para r_f=1,58\,\mathrm{m} por repulsão elétrica. Vamos usar o conceito de energia potencial eletrostática de Coulomb e depois relacionar a energia liberada a um fóton cujo comprimento de onda \lambda satisfaz E=h\,c/\lambda.

Passo 2

A energia potencial inicial e final do par carga–próton são
U_i = k\,\frac{Q\,q}{r_i} \quad\text{e}\quad U_f = k\,\frac{Q\,q}{r_f},
onde k=8,99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}. A energia elétrica perdida é
\Delta U = U_i - U_f = k\,Q\,q\Bigl(\tfrac{1}{r_i}-\tfrac{1}{r_f}\Bigr).

Passo 3

Substituindo os valores
\Delta U = 8,99\times10^{9}\times8,30\times10^{-6}\times1,602\times10^{-19} \Bigl(\tfrac{1}{0,420}-\tfrac{1}{1,58}\Bigr) \approx2,09\times10^{-14}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Supondo que essa energia vira um fóton, temos
E_{\text{fóton}} = \Delta U = \frac{h\,c}{\lambda}.ó
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\lambda = \frac{h\,c}{\Delta U} = \frac{6,626\times10^{-34}\times3,00\times10^{8}}{2,09\times10^{-14}} \approx9,5\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

Resposta

\lambda\approx9,5\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

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