Dois átomos de gases nobres interagem eletricamente através do modelo proposto por Len-nard-Jones. Essa interação, para uma dimensão, pode ser expressa pela relação para a energia potencial entre os átomos:
, onde
e
são parâmetros que dependem dos tipos de átomos e
é a distância entre eles. (B) Mostre que para
a força é nula.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem dois átomos de gases nobres que interagem eletricamente usando o modelo de Lennard-Jones. A energia potencial dessa interação é dada por uma fórmula que depende da distância entre os átomos
e de uns parâmetros específicos
e
. O que a gente precisa mostrar é que, quando
, a força entre esses átomos é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força entre os átomos pode ser obtida a partir da derivada da energia potencial em relação à distância
. Na física, a força é igual ao negativo da derivada da energia potencial:
Então, para encontrar a força, precisamos derivar a expressão de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a fórmula da energia potencial:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, aplicando a relação para a força:
Queremos saber quando essa força é igual a zero. Então, igualamos a expressão a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
→ Não faz sentido físico, já que e são diferentes de zero. -
→ Resolvendo para :
Mas, na verdade, há um pequeno erro aqui. A raiz correta para igualar a força a zero na equação original é
. Entretanto, conforme o enunciado, devemos usar
. Isso sugere que houve um equívoco no cálculo inicial. Vamos revisar.
Na derivada original, o expoente correto para
deveria ser
e
, mas ao igualar a zero, acabamos com:
Portanto, parece que o enunciado pede para mostrar que a força é nula em
, mas nosso cálculo mostrou que a força é zero em
. Talvez haja uma confusão no enunciado ou um erro de digitação. De qualquer forma, seguindo nosso cálculo, a força é zero quando
.
Resposta
A força entre os átomos é nula quando a distância
.