Dois vetores
e
têm módulos exatamente iguais. Para que o módulo de
seja 100 vezes maior que o módulo de
, qual deve ser o ângulo entre eles?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, que têm o mesmo tamanho (ou módulo). A pergunta quer saber qual é o ângulo entre eles para que, quando a gente soma esses vetores (
), o tamanho do resultado seja 100 vezes maior do que se a gente subtrair os vetores (
). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo (ou tamanho) da soma e da diferença de dois vetores que têm o mesmo módulo. Se
e o ângulo entre eles é
, então:
Essas fórmulas vêm da regra do paralelogramo para a soma de vetores.
Passo 3
Segundo o enunciado, queremos que:
Substituindo as fórmulas que temos:
A gente pode simplificar dividindo ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Agora, para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 5
Vamos distribuir o 10.000 no lado direito da equação:
Agora, somamos
em ambos os lados para juntar os termos com
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco-coseno:
Resposta
O ângulo entre os vetores deve ser aproximadamente
.