Dois vetores e têm módulos exatamente iguais. Para que o módulo de seja 100 vezes maior que o módulo de , qual deve ser o ângulo entre eles?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que têm o mesmo tamanho (ou módulo). A pergunta quer saber qual é o ângulo entre eles para que, quando a gente soma esses vetores ( ), o tamanho do resultado seja 100 vezes maior do que se a gente subtrair os vetores ( ). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo (ou tamanho) da soma e da diferença de dois vetores que têm o mesmo módulo. Se e o ângulo entre eles é , então:
Essas fórmulas vêm da regra do paralelogramo para a soma de vetores.

Passo 3

Segundo o enunciado, queremos que:
Substituindo as fórmulas que temos:
A gente pode simplificar dividindo ambos os lados por e por :

Passo 4

Agora, para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 5

Vamos distribuir o 10.000 no lado direito da equação:
Agora, somamos em ambos os lados para juntar os termos com :
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 6

Finalmente, isolamos :
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco-coseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores deve ser aproximadamente .

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