*32. Um elétron é acelerado a partir do repouso atravessando uma diferença de potencial que tem um módulo igual a 2,40 \times 10^{7} \mathrm{~V}. A massa do elétron é igual a 9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, enquanto a carga negativa do elétron tem um módulo igual a 1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C}. (a) Qual a energia cinética relativística do elétron (em joules)? (b) Qual a velocidade do elétron? Expresse sua resposta como um múltiplo de c, a velocidade de propagação da luz no vácuo.

Passo 1

O enunciado diz que um elétron, inicialmente em repouso, é acelerado por uma diferença de potencial \Delta V = 2,40 \times 10^{7}\,\mathrm{V}. A massa do elétron é m = 9,11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg} e a carga (em módulo) é \lvert q\rvert = 1,60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. Vamos usar a conversão de energia potencial elétrica em energia cinética relativística e a relação
K = (\gamma - 1)\,m\,c^2,
além de
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.

Passo 2

A energia cinética adquirida pelo elétron é
K = q\,\Delta V.
Substituindo os valores:
K = (1,60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}) \,(2,40 \times 10^{7}\,\mathrm{V}) = 3,84 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.

Passo 3

Para relacionar K a \gamma usamos
\gamma = 1 + \frac{K}{m\,c^2}.
Primeiro calculemos
m\,c^2 = (9,11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg})\,(3,00 \times 10^{8}\,\mathrm{m/s})^2 = 8,20 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}.
Logo
\gamma = 1 + \frac{3,84 \times 10^{-12}}{8,20 \times 10^{-14}} = 1 + 46,8 = 47,8.

Passo 4

Agora a velocidade obtém‐se de
\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{(47,8)^2}} \approx 0,99978.

Resposta

(a) K = 3,84 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.
(b) v \approx 0,99978\,c.

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