Uma partícula de alta energia instável é criada no laboratório, e se move a uma velocidade de 0,990 c. Em relação a um referencial estacionário fixo no laboratório, a partícula viaja a uma distância de 1,05 \times 10^{-3} \mathrm{~m} antes de se desintegrar. Quais são (a) a distância apropriada e (b) a distância medida por uma pessoa hipotética viajando com a partícula? Determine (c) o tempo de vida apropriado da partícula e (d) seu tempo de vida dilatado.

Passo 1

Resumo do enunciado: uma partícula instável move-se a v=0{,}990\,c e, no referencial do laboratório, percorre uma distância
L_{\rm lab}=1{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m}
antes de se desintegrar. Vamos aplicar os conceitos de contração de comprimentos e dilatação de tempo na Relatividade Restrita.

Passo 2

Cálculo do fator de Lorentz \gamma e do tempo de voo no laboratório t_{\rm lab}:
\beta=\frac{v}{c}=0{,}990, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0{,}990^{2}}}\approx7{,}09.
Como t_{\rm lab}=L_{\rm lab}/v,
t_{\rm lab} =\frac{1{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m}}{0{,}990\,c} =\frac{1{,}05\times10^{-3}}{0{,}990\times3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{s} \approx3{,}54\times10^{-12}\,\mathrm{s}.

Passo 3

(a) Como o “trilho” (o caminho percorrido) está em repouso no laboratório, seu comprimento próprio é
L_{0}=L_{\rm lab}=1{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
(b) No referencial da partícula (que vê o laboratório passando), esse comprimento aparece contraído:
L'=\frac{L_{0}}{\gamma} =\frac{1{,}05\times10^{-3}}{7{,}09} \approx1{,}48\times10^{-4}\,\mathrm{m}.

Passo 4

(c) O tempo próprio de vida \tau_{0} é o intervalo de tempo medido no referencial da partícula, dado por
\tau_{0}=\frac{t_{\rm lab}}{\gamma} =\frac{3{,}54\times10^{-12}\,\mathrm{s}}{7{,}09} \approx4{,}99\times10^{-13}\,\mathrm{s}.
(d) O tempo dilatado medido no laboratório é justamente
t_{\rm dil}=t_{\rm lab}\approx3{,}54\times10^{-12}\,\mathrm{s}.

Resposta

(a) L_{0}=1{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m}
(b) L'=1{,}48\times10^{-4}\,\mathrm{m}
(c) \tau_{0}=4{,}99\times10^{-13}\,\mathrm{s}
(d) t_{\rm dil}=3{,}54\times10^{-12}\,\mathrm{s}

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