O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de spin e posição
Se você medir a componente do spin a distância da origem (note que essas são observáveis compatíveis), qual é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula com spin para cima e no raio ?
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de spin e posição, dado pela expressão:
Aqui, precisamos descobrir a densidade de probabilidade de encontrar o elétron com o spin para cima e a uma distância da origem, quando medimos a componente do spin e a distância do elétron da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a estados de spin, funções de onda e densidades de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da expressão:
é a parte radial da função de onda, que depende da distância do elétron do núcleo.
e são as harmônicas esféricas, que descrevem a parte angular da função de onda.
e representam os estados de spin para cima e para baixo, respectivamente.
A função de onda total é uma combinação linear desses estados, indicando que o elétron está em uma superposição desses estados de spin e posição.
Passo 3
Queremos encontrar a densidade de probabilidade para o elétron ter spin para cima () e estar a uma distância . Para isso, vamos:
Isolar a parte da função de onda que corresponde ao spin para cima.
Calcular o módulo ao quadrado dessa parte para obter a probabilidade.
Incluir a parte radial para considerar a dependência com .
Passo 4
Vamos isolar a parte com na função de onda:
A parte com é . Isso significa que a amplitude para o estado com spin para cima é .
Passo 5
Agora, para encontrar a probabilidade de medir o spin para cima e estar a uma distância , calculamos o módulo ao quadrado dessa amplitude:
Simplificando:
Passo 6
As harmônicas esféricas são funções que descrevem a distribuição angular da função de onda. No caso, corresponde a um estado angular com e . O módulo ao quadrado de nos dá a densidade angular para esse estado específico.
A parte radial descreve como a probabilidade varia com a distância do núcleo.
Passo 7
Portanto, a densidade de probabilidade final para encontrar o elétron com spin para cima e a uma distância é:
Resposta
A densidade de probabilidade de encontrar o elétron com spin para cima e a uma distância da origem é:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 4.Outros Problemas - Ex. Problema 4.55h