O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de spin e posição
Se você medir a componente do spin a distância da origem (note que essas são observáveis compatíveis), qual é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula com spin para cima e no raio ?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de spin e posição, dado pela expressão:
Aqui, precisamos descobrir a densidade de probabilidade de encontrar o elétron com o spin para cima e a uma distância da origem, quando medimos a componente do spin e a distância do elétron da origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a estados de spin, funções de onda e densidades de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da expressão:
  • é a parte radial da função de onda, que depende da distância do elétron do núcleo.
  • e são as harmônicas esféricas, que descrevem a parte angular da função de onda.
  • e representam os estados de spin para cima e para baixo, respectivamente.
A função de onda total é uma combinação linear desses estados, indicando que o elétron está em uma superposição desses estados de spin e posição.

Passo 3

Queremos encontrar a densidade de probabilidade para o elétron ter spin para cima ( ) e estar a uma distância . Para isso, vamos:
  1. Isolar a parte da função de onda que corresponde ao spin para cima.
  2. Calcular o módulo ao quadrado dessa parte para obter a probabilidade.
  3. Incluir a parte radial para considerar a dependência com .

Passo 4

Vamos isolar a parte com na função de onda:
A parte com é . Isso significa que a amplitude para o estado com spin para cima é .

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade de medir o spin para cima e estar a uma distância , calculamos o módulo ao quadrado dessa amplitude:
Simplificando:

Passo 6

As harmônicas esféricas são funções que descrevem a distribuição angular da função de onda. No caso, corresponde a um estado angular com e . O módulo ao quadrado de nos dá a densidade angular para esse estado específico.
A parte radial descreve como a probabilidade varia com a distância do núcleo.

Passo 7

Portanto, a densidade de probabilidade final para encontrar o elétron com spin para cima e a uma distância é:

Resposta

A densidade de probabilidade de encontrar o elétron com spin para cima e a uma distância da origem é:

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