Considere o oscilador harmônico tridimensional para o qual o potencial é
Determine a degenerescência de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o oscilador harmônico tridimensional. O potencial é dado por . O que a gente precisa descobrir é a degenerescência do nível de energia . Isso significa quantas formas diferentes a energia pode se manifestar no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico tridimensional, a energia total é a soma das energias em cada uma das três direções (x, y, z). Cada direção contribui com uma energia quantizada, então a energia total pode ser escrita como:
Aqui, , , e são números quânticos não negativos que representam os estados de energia em cada direção.

Passo 3

A degenerescência corresponde ao número de combinações de , , e que resultam no mesmo valor de . Ou seja, queremos saber de quantas maneiras podemos somar três números inteiros não negativos para obter .

Passo 4

Esse problema de combinar , e é um caso clássico de combinações com repetição na matemática. A fórmula para o número de combinações de elementos que somam é dada por:
No nosso caso, (três direções: x, y, z).

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando a expressão:

Resposta

A degenerescência do nível de energia no oscilador harmônico tridimensional é:

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