Considere o oscilador harmônico tridimensional para o qual o potencial é
Determine a degenerescência
de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o oscilador harmônico tridimensional. O potencial é dado por
. O que a gente precisa descobrir é a degenerescência
do nível de energia
. Isso significa quantas formas diferentes a energia
pode se manifestar no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico tridimensional, a energia total
é a soma das energias em cada uma das três direções (x, y, z). Cada direção contribui com uma energia quantizada, então a energia total pode ser escrita como:
Aqui,
,
, e
são números quânticos não negativos que representam os estados de energia em cada direção.
Passo 3
A degenerescência
corresponde ao número de combinações de
,
, e
que resultam no mesmo valor de
. Ou seja, queremos saber de quantas maneiras podemos somar três números inteiros não negativos para obter
.
Passo 4
Esse problema de combinar
,
e
é um caso clássico de combinações com repetição na matemática. A fórmula para o número de combinações de
elementos que somam
é dada por:
No nosso caso,
(três direções: x, y, z).
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A degenerescência do nível de energia
no oscilador harmônico tridimensional é: