Resolva os coeficientes de Clebsch-Gordan para o caso qualquer coisa. Dica: você está à procura dos coeficientes e em
tal que Is > é um autoestado de . Utilize o método aplicado nas equações 4.179 até 4.182 . Se não conseguir entender o que (por exemplo) faz para , consulte a Equação 4.136 e a linha antes da Equação 4.147. Resposta:
em que os sinais são determinados por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre coeficientes de Clebsch-Gordan. O enunciado pede para encontrar os coeficientes e quando combinamos dois spins: um com e outro com que pode ser qualquer valor. Para isso, vamos usar a teoria de adição de momentos angulares e algumas equações específicas que nos ajudam a determinar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a combinação dos estados de spin. Temos que o estado combinado pode ser escrito como uma combinação linear de produtos dos estados individuais:
Aqui, e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar e , vamos usar a condição de que é um autoestado de , ou seja, . Isso nos dá uma equação que relaciona e .
Passo 4
Aplicando o operador ao estado combinado, temos:
Explicando, e são os operadores de spin para os dois sistemas. Expandindo, obtemos:
Passo 5
Sabendo que e similar para , podemos substituir na equação anterior:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a ação de nos estados combinados. Isso envolve aplicar os operadores de subida e descida dos spins, o que nos leva a uma relação entre e .
Passo 7
Depois de realizar os cálculos, chegamos a um sistema de equações que relaciona e . Resolvendo esse sistema, encontramos:
Aqui, os sinais são escolhidos de acordo com .
Resposta
Os coeficientes de Clebsch-Gordan são:
onde os sinais são determinados por .
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 4.Outros Problemas - Ex. Problema 4.51a