Resolva os coeficientes de Clebsch-Gordan para o caso qualquer coisa. Dica: você está à procura dos coeficientes e em
tal que Is > é um autoestado de . Utilize o método aplicado nas equações 4.179 até 4.182 . Se não conseguir entender o que (por exemplo) faz para , consulte a Equação 4.136 e a linha antes da Equação 4.147. Resposta:
em que os sinais são determinados por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre coeficientes de Clebsch-Gordan. O enunciado pede para encontrar os coeficientes e quando combinamos dois spins: um com e outro com que pode ser qualquer valor. Para isso, vamos usar a teoria de adição de momentos angulares e algumas equações específicas que nos ajudam a determinar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a combinação dos estados de spin. Temos que o estado combinado pode ser escrito como uma combinação linear de produtos dos estados individuais:
Aqui, e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar e , vamos usar a condição de que é um autoestado de , ou seja, . Isso nos dá uma equação que relaciona e .

Passo 4

Aplicando o operador ao estado combinado, temos:
Explicando, e são os operadores de spin para os dois sistemas. Expandindo, obtemos:

Passo 5

Sabendo que e similar para , podemos substituir na equação anterior:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a ação de nos estados combinados. Isso envolve aplicar os operadores de subida e descida dos spins, o que nos leva a uma relação entre e .

Passo 7

Depois de realizar os cálculos, chegamos a um sistema de equações que relaciona e . Resolvendo esse sistema, encontramos:
Aqui, os sinais são escolhidos de acordo com .

Resposta

Os coeficientes de Clebsch-Gordan são:
onde os sinais são determinados por .

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