Um elétron está em repouso em um campo magnético oscilante
em que são constantes.
O elétron inicia (em ) no estado de spin para cima em relação ao eixo (isto é: ). Determine em qualquer tempo posterior. Alerta: esse é um Hamiltoniano dependente do tempo e, portanto, você não pode obter da maneira usual a partir dos estados estacionários. Felizmente, nesse caso, você pode resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo (Equação 4.162) diretamente.

Passo 1

Vamos lá! Temos um elétron parado em um campo magnético que está oscilando no tempo. A equação que descreve esse campo é:
Aqui, e são constantes, e indica que o campo está na direção z. O elétron começa no estado de spin apontando para cima em relação ao eixo x, ou seja, . Nosso objetivo é descobrir como o estado de spin evolui com o tempo. Para isso, vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo, que é essencial quando o Hamiltoniano (a energia total do sistema) muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o Hamiltoniano do sistema. Para um elétron com spin em um campo magnético, o Hamiltoniano é dado por:
Aqui, é a razão giromagnética do elétron, é o campo magnético que depende do tempo, e é o operador de spin. No nosso caso, o campo magnético está apenas na direção z, então podemos simplificar:

Passo 3

Agora, precisamos escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo:
Substituindo o Hamiltoniano que encontramos:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos considerar que o operador atua sobre os estados de spin. Sabemos que os operadores de spin têm valores próprios simples: para um elétron, os valores próprios de são . Vamos escrever o estado como uma combinação linear dos estados de spin para cima e para baixo na direção z:

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação de Schrödinger:
Como , temos:

Passo 6

Vamos separar as equações para cada componente de spin. Isso nos dá duas equações diferenciais:
Para :
Para :

Passo 7

Simplificando as equações acima, cancelando e rearranjando:
Para :
Para :

Passo 8

Essas são equações diferenciais simples que podemos integrar diretamente. Vamos integrar para :
A integral de é , então:
Exponentiando ambos os lados:
De forma similar, para :

Passo 9

Agora, precisamos determinar as constantes de integração e usando a condição inicial. Sabemos que em , o estado é . Vamos expressar em termos dos estados de spin na direção z:
Comparando com , temos:
Portanto, e .

Passo 10

Substituindo as constantes de integração nas expressões de e :

Passo 11

Finalmente, substituímos e na expressão original para :
Podemos reescrever isso de forma mais elegante utilizando funções trigonométricas:

Resposta

A função de onda do estado de spin em qualquer tempo é:

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