Um elétron está em repouso em um campo magnético oscilante
em que
são constantes.
O elétron inicia (em
) no estado de spin para cima em relação ao eixo
(isto é:
). Determine
em qualquer tempo posterior. Alerta: esse é um Hamiltoniano dependente do tempo e, portanto, você não pode obter
da maneira usual a partir dos estados estacionários. Felizmente, nesse caso, você pode resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo (Equação 4.162) diretamente.
O elétron inicia (em
Passo 1
Vamos lá! Temos um elétron parado em um campo magnético que está oscilando no tempo. A equação que descreve esse campo é:
Aqui,
e
são constantes, e
indica que o campo está na direção z. O elétron começa no estado de spin apontando para cima em relação ao eixo x, ou seja,
. Nosso objetivo é descobrir como o estado de spin
evolui com o tempo. Para isso, vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo, que é essencial quando o Hamiltoniano (a energia total do sistema) muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o Hamiltoniano do sistema. Para um elétron com spin em um campo magnético, o Hamiltoniano é dado por:
Aqui,
é a razão giromagnética do elétron,
é o campo magnético que depende do tempo, e
é o operador de spin. No nosso caso, o campo magnético está apenas na direção z, então podemos simplificar:
Passo 3
Agora, precisamos escrever a equação de Schrödinger dependente do tempo:
Substituindo o Hamiltoniano que encontramos:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos considerar que o operador
atua sobre os estados de spin. Sabemos que os operadores de spin têm valores próprios simples: para um elétron, os valores próprios de
são
. Vamos escrever o estado
como uma combinação linear dos estados de spin para cima e para baixo na direção z:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação de Schrödinger:
Como
, temos:
Passo 6
Vamos separar as equações para cada componente de spin. Isso nos dá duas equações diferenciais:
Para
:
Para
:
Passo 7
Simplificando as equações acima, cancelando
e rearranjando:
Para
:
Para
:
Passo 8
Essas são equações diferenciais simples que podemos integrar diretamente. Vamos integrar para
:
A integral de
é
, então:
Exponentiando ambos os lados:
De forma similar, para
:
Passo 9
Agora, precisamos determinar as constantes de integração
e
usando a condição inicial. Sabemos que em
, o estado é
. Vamos expressar
em termos dos estados de spin na direção z:
Comparando com
, temos:
Portanto,
e
.
Passo 10
Substituindo as constantes de integração nas expressões de
e
:
Passo 11
Finalmente, substituímos
e
na expressão original para
:
Podemos reescrever isso de forma mais elegante utilizando funções trigonométricas:
Resposta
A função de onda do estado de spin em qualquer tempo
é: