Se você medir nesse elétron, quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron que está em um certo estado de spin, representado por:
Nosso objetivo é descobrir quais valores podemos obter ao medir (o operador de spin na direção x) desse elétron, as probabilidades de cada valor e, por fim, o valor esperado de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores de spin, estados quânticos e como calcular probabilidades e valores esperados usando vetores de estado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é . No contexto do spin de elétrons, é um operador que mede o componente do spin na direção x. Os possíveis valores que podemos obter ao medir são os autovalores desse operador.
No caso do spin-1/2, que é o caso do elétron, os autovalores de são e , onde é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor de estado . A constante é o fator de normalização que garante que o vetor tenha comprimento 1 (isto é, ).
Para encontrar , calculamos a norma do vetor:
Calculando os módulos:
Então,
Para que , temos:
Assumindo que seja real e positivo, temos .
Passo 4
Com isso, o vetor de estado normalizado fica:
Agora, para encontrar as probabilidades de obter cada valor , precisamos calcular as projeções desse estado nos autovetores de .
Os autovetores de para os autovalores e são:
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de medir . Isso é dado pelo quadrado do valor absoluto do produto interno entre e :
Simplificando:
O módulo de é:
Então,
Passo 6
De maneira similar, a probabilidade de medir é:
Simplificando:
O módulo de é:
Então,
Passo 7
Finalmente, para calcular o valor esperado de , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Ao medir nesse elétron, podemos obter os valores com probabilidade e com probabilidade . O valor esperado de é .
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 4.Outros Problemas - Ex. Problema 4.49c