Um elétron está no estado de spin
Se você medir nesse elétron, quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron que está em um certo estado de spin, representado por:
Nosso objetivo é descobrir quais valores podemos obter ao medir (o operador de spin na direção x) desse elétron, as probabilidades de cada valor e, por fim, o valor esperado de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores de spin, estados quânticos e como calcular probabilidades e valores esperados usando vetores de estado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é . No contexto do spin de elétrons, é um operador que mede o componente do spin na direção x. Os possíveis valores que podemos obter ao medir são os autovalores desse operador.
No caso do spin-1/2, que é o caso do elétron, os autovalores de são e , onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor de estado . A constante é o fator de normalização que garante que o vetor tenha comprimento 1 (isto é, ).
Para encontrar , calculamos a norma do vetor:
Calculando os módulos:
Então,
Para que , temos:
Assumindo que seja real e positivo, temos .

Passo 4

Com isso, o vetor de estado normalizado fica:
Agora, para encontrar as probabilidades de obter cada valor , precisamos calcular as projeções desse estado nos autovetores de .
Os autovetores de para os autovalores e são:

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de medir . Isso é dado pelo quadrado do valor absoluto do produto interno entre e :
Simplificando:
O módulo de é:
Então,

Passo 6

De maneira similar, a probabilidade de medir é:
Simplificando:
O módulo de é:
Então,

Passo 7

Finalmente, para calcular o valor esperado de , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Ao medir nesse elétron, podemos obter os valores com probabilidade e com probabilidade . O valor esperado de é .

Exercícios de Livros Relacionados