[Tente resolver esse problema somente se estiver familiarizado com cálculo vetorial.] Defina a corrente de probabilidade (tridimensional) por generalização do Problema 1.14:
Encontre J para o hidrogênio no estado
. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente de probabilidade tridimensional para o átomo de hidrogênio no estado específico onde os números quânticos são
,
e
. Para isso, vamos usar a definição da corrente de probabilidade e algumas propriedades das funções de onda do hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da corrente de probabilidade
. Ela é dada por:
Aqui,
é a função de onda do sistema,
é o seu complexo conjugado,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula (no caso, o elétron), e
representa o operador nabla, que calcula o gradiente da função.
Passo 3
Agora, vamos precisar da função de onda
para o estado
,
,
do átomo de hidrogênio. A função de onda para o átomo de hidrogênio em coordenadas esféricas é dada por:
Onde
é a parte radial da função de onda e
são as funções harmônicas esféricas que dependem dos ângulos
e
.
Passo 4
Para o estado específico
,
,
, a função de onda
é:
As expressões para
e
são:
Aqui,
é o raio de Bohr.
Passo 5
Vamos agora calcular
e
. Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função de onda
. Considerando que
é uma função de
,
, e
, o operador nabla em coordenadas esféricas é:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão do gradiente, temos:
Simplificando o termo
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Observando que a parte radial e
serão reais e se cancelam, restará apenas o termo envolvendo
:
Passo 9
Substituindo esse resultado na definição da corrente de probabilidade
:
Passo 10
Calculando
:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
: