[Tente resolver esse problema somente se estiver familiarizado com cálculo vetorial.] Defina a corrente de probabilidade (tridimensional) por generalização do Problema 1.14:
Encontre J para o hidrogênio no estado . Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente de probabilidade tridimensional para o átomo de hidrogênio no estado específico onde os números quânticos são , e . Para isso, vamos usar a definição da corrente de probabilidade e algumas propriedades das funções de onda do hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da corrente de probabilidade . Ela é dada por:
Aqui, é a função de onda do sistema, é o seu complexo conjugado, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula (no caso, o elétron), e representa o operador nabla, que calcula o gradiente da função.

Passo 3

Agora, vamos precisar da função de onda para o estado , , do átomo de hidrogênio. A função de onda para o átomo de hidrogênio em coordenadas esféricas é dada por:
Onde é a parte radial da função de onda e são as funções harmônicas esféricas que dependem dos ângulos e .

Passo 4

Para o estado específico , , , a função de onda é:
As expressões para e são:
Aqui, é o raio de Bohr.

Passo 5

Vamos agora calcular e . Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função de onda . Considerando que é uma função de , , e , o operador nabla em coordenadas esféricas é:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão do gradiente, temos:
Simplificando o termo :

Passo 8

Agora, vamos calcular . Observando que a parte radial e serão reais e se cancelam, restará apenas o termo envolvendo :

Passo 9

Substituindo esse resultado na definição da corrente de probabilidade :

Passo 10

Calculando :

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Resposta

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