Monte a função de onda para o hidrogênio no estado . Expresse sua resposta como função de coordenadas esféricas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa montar a função de onda do hidrogênio para o estado com números quânticos , e . Para isso, vamos trabalhar com a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio usando coordenadas esféricas . Vamos precisar entender as funções radiais e as funções angulares, conhecidas como harmônicos esféricos.

Passo 2

Primeiro, a função de onda do átomo de hidrogênio pode ser separada em duas partes: uma parte radial que depende da distância do elétron ao nucleo, e uma parte angular, que é o harmônico esférico . Assim, a função de onda completa é:

Passo 3

Vamos começar encontrando a parte radial . Para o hidrogênio, essa função é dada por:
onde e são os polinômios de Laguerre associados, é o raio de Bohr.
Para e :
E os polinômios de Laguerre associados para , são (já que ).
Substituindo:
Simplificando:
Como e :

Passo 4

Agora, vamos para a parte angular . Os harmônicos esféricos para e são dados por:
Simplificando:
Como e :

Passo 5

Finalmente, juntando as partes radial e angular, temos a função de onda completa:
Substituindo as expressões encontradas:

Resposta

Portanto, a função de onda para o hidrogênio no estado , , em coordenadas esféricas é:
Ou simplificando os coeficientes:
Essa é a função de onda desejada expressa em coordenadas esféricas.

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