Monte a função de onda para o hidrogênio no estado
. Expresse sua resposta como função de coordenadas esféricas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa montar a função de onda do hidrogênio para o estado com números quânticos
,
e
. Para isso, vamos trabalhar com a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio usando coordenadas esféricas
. Vamos precisar entender as funções radiais e as funções angulares, conhecidas como harmônicos esféricos.
Passo 2
Primeiro, a função de onda do átomo de hidrogênio pode ser separada em duas partes: uma parte radial
que depende da distância do elétron ao nucleo, e uma parte angular, que é o harmônico esférico
. Assim, a função de onda completa é:
Passo 3
Vamos começar encontrando a parte radial
. Para o hidrogênio, essa função é dada por:
onde
e
são os polinômios de Laguerre associados,
é o raio de Bohr.
Para
e
:
E os polinômios de Laguerre associados para
,
são
(já que
).
Substituindo:
Simplificando:
Como
e
:
Passo 4
Agora, vamos para a parte angular
. Os harmônicos esféricos para
e
são dados por:
Simplificando:
Como
e
:
Passo 5
Finalmente, juntando as partes radial e angular, temos a função de onda completa:
Substituindo as expressões encontradas:
Resposta
Portanto, a função de onda para o hidrogênio no estado
,
,
em coordenadas esféricas é:
Ou simplificando os coeficientes:
Essa é a função de onda desejada expressa em coordenadas esféricas.