Monte a função de onda para o hidrogênio no estado
. Calcule o valor esperado de
nesse estado. (Como sempre, procure por qualquer integral não trivial.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente montar a função de onda do átomo de hidrogênio no estado com números quânticos
,
e
. Além disso, precisamos calcular o valor esperado de
nesse estado. Isso está dentro da matéria de mecânica quântica, mais especificamente sobre os estados eletrônicos do átomo de hidrogênio. Para resolver, vamos precisar das funções de onda do hidrogênio, que incluem as partes radial e angular, e entender como calcular valores esperados usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de onda para o hidrogênio no estado especificado. A função de onda
é dada pelo produto da parte radial
e da parte angular, que são os harmônicos esféricos
. Então, temos:
Passo 3
Vamos detalhar a parte radial
. A função radial para o hidrogênio é dada por:
Onde
é o raio de Bohr e
são os polinômios de Laguerre.
Para
e
, substituímos:
Simplificando:
E como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a parte angular, os harmônicos esféricos
. Eles são dados por:
Para
e
:
Como
, temos:
Passo 5
Com as partes radial e angular definidas, nossa função de onda completa fica:
Onde já substituímos as expressões para
e
nos passos anteriores.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado de
no estado
. O valor esperado
é dado por:
Simplificando, como a parte angular se normaliza a 1, ficamos com:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Então:
Simplificando os termos:
Passo 8
Para resolver a integral
, usamos a fórmula da gama:
Aqui,
e
, então:
Sabendo que
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando os termos:
Calculando os números:
Então:
Resposta
O valor esperado de
no estado
é
.