Para uma função
, que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que
é um ângulo arbitrário). Por essa razão,
é chamado de gerador de rotações sobre o eixo z. Dica: utilize a Equação 4.129 e consulte o Problema 3.39.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que, para uma função
que pode ser expandida em uma série de Taylor, temos:
Aqui,
é um ângulo qualquer. O conteúdo envolvido é de mecânica quântica, especificamente sobre operadores de momento angular e séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar entender como os operadores agem sobre funções e utilizar a expansão em série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Ela permite expandir uma função
em torno do ponto
:
Isso significa que podemos expressar a função deslocada em termos das derivadas de
em
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o operador rotacional
. Esse operador atua nas funções multiplicando-as por fases que dependem do momento angular
. Sabemos que
é o gerador das rotações no eixo z, ou seja, ele gera pequenas rotações na função.
Passo 4
A ideia é expandir o operador exponencial em série de Taylor também:
Isso nos permite comparar termo a termo com a expansão de
.
Passo 5
Para que as duas expansões sejam iguais, as derivadas de
devem estar relacionadas com as potências de
. De fato, em mecânica quântica, a ação de
sobre
é equivalente à derivada em relação a
:
Então, substituindo isso na expansão do operador, temos:
Passo 6
Observamos que a expressão resultante é exatamente a expansão em série de Taylor de
. Portanto, concluímos que:
Isso mostra que
realmente atua como gerador de rotações no eixo z.
Resposta
Demonstramos que
, confirmando que
é o gerador de rotações sobre o eixo z.