Para uma função , que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que é um ângulo arbitrário). Por essa razão, é chamado de gerador de rotações sobre o eixo z. Dica: utilize a Equação 4.129 e consulte o Problema 3.39.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que, para uma função que pode ser expandida em uma série de Taylor, temos:
Aqui, é um ângulo qualquer. O conteúdo envolvido é de mecânica quântica, especificamente sobre operadores de momento angular e séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar entender como os operadores agem sobre funções e utilizar a expansão em série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Ela permite expandir uma função em torno do ponto :
Isso significa que podemos expressar a função deslocada em termos das derivadas de em .

Passo 3

Agora, vamos considerar o operador rotacional . Esse operador atua nas funções multiplicando-as por fases que dependem do momento angular . Sabemos que é o gerador das rotações no eixo z, ou seja, ele gera pequenas rotações na função.

Passo 4

A ideia é expandir o operador exponencial em série de Taylor também:
Isso nos permite comparar termo a termo com a expansão de .

Passo 5

Para que as duas expansões sejam iguais, as derivadas de devem estar relacionadas com as potências de . De fato, em mecânica quântica, a ação de sobre é equivalente à derivada em relação a :
Então, substituindo isso na expansão do operador, temos:

Passo 6

Observamos que a expressão resultante é exatamente a expansão em série de Taylor de . Portanto, concluímos que:
Isso mostra que realmente atua como gerador de rotações no eixo z.

Resposta

Demonstramos que , confirmando que é o gerador de rotações sobre o eixo z.

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