Para um sistema de
partículas sujeitas a um campo gravitacional uniforme
agindo verticalmente para baixo, mostre que a energia potencial gravitacional total é equivalente ao caso em que todas as massas estivessem concentradas no centro de massa do sistema, isto é,
onde
é a massa total do sistema e
é a posição do
, com a coordenada
medida verticalmente para cima. [Sugestão: sabemos, do Problema 4.5, que
Passo 1
Então, a gente tem um sistema com
partículas que estão sob a ação de um campo gravitacional uniforme
, que aponta pra baixo. O que precisamos mostrar é que a energia potencial gravitacional total desse sistema é igual à energia potencial que teríamos se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia potencial de cada partícula e como relacionar isso com a posição do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, lembra que a energia potencial gravitacional de uma partícula é dada por
, onde
é a massa da partícula,
é a aceleração da gravidade, e
é a coordenada vertical da partícula, medida para cima.
Passo 3
Agora, vamos somar a energia potencial de todas as partículas do sistema. Isso fica:
Esse é o total da energia potencial gravitacional do sistema.
Passo 4
A massa total do sistema,
, é a soma de todas as massas individuais:
Passo 5
O centro de massa do sistema tem coordenadas
, onde
é a coordenada vertical. A posição do centro de massa na direção vertical é dada por:
Passo 6
Agora, substituímos a expressão de
na equação da energia potencial total:
Resposta
A energia potencial gravitacional total do sistema é
, onde
é a massa total e
é a coordenada vertical do centro de massa.