Para um sistema de partículas sujeitas a um campo gravitacional uniforme agindo verticalmente para baixo, mostre que a energia potencial gravitacional total é equivalente ao caso em que todas as massas estivessem concentradas no centro de massa do sistema, isto é,
onde é a massa total do sistema e é a posição do , com a coordenada medida verticalmente para cima. [Sugestão: sabemos, do Problema 4.5, que

Passo 1

Então, a gente tem um sistema com partículas que estão sob a ação de um campo gravitacional uniforme , que aponta pra baixo. O que precisamos mostrar é que a energia potencial gravitacional total desse sistema é igual à energia potencial que teríamos se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia potencial de cada partícula e como relacionar isso com a posição do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, lembra que a energia potencial gravitacional de uma partícula é dada por , onde é a massa da partícula, é a aceleração da gravidade, e é a coordenada vertical da partícula, medida para cima.

Passo 3

Agora, vamos somar a energia potencial de todas as partículas do sistema. Isso fica:
Esse é o total da energia potencial gravitacional do sistema.

Passo 4

A massa total do sistema, , é a soma de todas as massas individuais:

Passo 5

O centro de massa do sistema tem coordenadas , onde é a coordenada vertical. A posição do centro de massa na direção vertical é dada por:

Passo 6

Agora, substituímos a expressão de na equação da energia potencial total:

Resposta

A energia potencial gravitacional total do sistema é , onde é a massa total e é a coordenada vertical do centro de massa.

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