Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite. (a) A fórmula de Rodrigues diz que Use-a para obter e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre os polinômios de Hermite usando a fórmula de Rodrigues. A questão pede para a gente encontrar os polinômios e . Para isso, vamos usar a fórmula de Rodrigues, que nos ajuda a gerar esses polinômios a partir de uma expressão que envolve derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Hermite:
Essa fórmula nos diz que, para encontrar , a gente precisa derivar vezes, multiplicar pela função e ajustar o sinal com .

Passo 3

Vamos começar calculando . Substituindo na fórmula:
Primeiro, calculamos as derivadas de três vezes.

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 5

Agora, substituímos a terceira derivada de volta na fórmula de Rodrigues:

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para . Substituindo :
Calculamos as derivadas de quatro vezes.

Passo 7

Calculando as derivadas:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:

Passo 8

Substituindo a quarta derivada na fórmula de Rodrigues:

Resposta

Os polinômios de Hermite solicitados são:
e

Exercícios de Livros Relacionados