Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite. (a) A fórmula de Rodrigues diz que
Use-a para obter
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre os polinômios de Hermite usando a fórmula de Rodrigues. A questão pede para a gente encontrar os polinômios
e
. Para isso, vamos usar a fórmula de Rodrigues, que nos ajuda a gerar esses polinômios a partir de uma expressão que envolve derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Hermite:
Essa fórmula nos diz que, para encontrar
, a gente precisa derivar
vezes, multiplicar pela função
e ajustar o sinal com
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Substituindo
na fórmula:
Primeiro, calculamos as derivadas de
três vezes.
Passo 4
Calculando as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 5
Agora, substituímos a terceira derivada de volta na fórmula de Rodrigues:
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para
. Substituindo
:
Calculamos as derivadas de
quatro vezes.
Passo 7
Calculando as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 8
Substituindo a quarta derivada na fórmula de Rodrigues:
Resposta
Os polinômios de Hermite solicitados são:
e