O experimento de Stern-Gerlach desempenhou um papel importante na filosofia da mecânica quântica, em que serve tanto como protótipo para a preparação de um estado quântico quanto para um modelo esclarecedor a certo tipo de medição quântica. Casualmente, tendemos a pressupor que o estado inicial de um sistema é conhecido (a equação de Schrödinger nos diz como ele evolui posteriormente), mas é natural se perguntar como colocar um sistema em um determinado estado. Bem, se você quer preparar um feixe de átomos em dada configuração de spin, basta passar um feixe não polarizado através de um ímã de Stern-Gerlach e selecionar o feixe de saída no qual você está interessado (fechando os outros com defletores e persianas adequados). Inversamente, se você quiser medir a componente do spin de um átomo, deve passá-lo pelo mecanismo de Stern-Gerlach e registrar em que posição ele aterrissa. Não afirmo que essa seja sempre a forma mais prática de se fazer o trabalho, mas é, conceitualmente, muito limpo e, portanto, um contexto útil para se explorar os problemas do estado de preparação e medição.
No Exemplo 4.3, se você medir a componente de um momento angular de spin ao longo da direção , no tempo , qual é a probabilidade de que vá obter ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente está falando sobre o experimento de Stern-Gerlach, que é super importante na mecânica quântica para preparar e medir estados quânticos de spin. A pergunta é: se a gente medir a componente do momento angular de spin de um átomo no tempo , qual é a probabilidade de obter ? Para resolver isso, vamos precisar entender como os estados de spin se comportam quando medimos em direções diferentes e usar um pouco de matemática de vetores quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o spin de um elétron (ou átomo com spin 1/2) pode ser representado por dois estados básicos: e , que são os estados de spin “para cima” e “para baixo” na direção . Quando a gente prepara um estado em uma direção e mede em outra, precisamos usar as relações de superposição entre esses estados.

Passo 3

Agora, vamos focar na direção . Os estados de spin ao longo de são e . Esses estados podem ser expressos em termos dos estados de assim:
Isso significa que cada estado de é uma combinação igual dos estados de .

Passo 4

Supondo que o estado inicial do sistema seja (spin para cima na direção ), queremos medir a componente . Para encontrar a probabilidade de obter em , a gente precisa calcular a amplitude do estado no estado .

Passo 5

Vamos calcular o produto interno :
Aqui, usamos que e .

Passo 6

A probabilidade é o quadrado do módulo dessa amplitude:
Então, a chance de medir na direção é de 50%.

Resposta

A probabilidade de obter ao medir a componente do spin é de 50%.

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