Um fio de densidade é cônico, de modo que sua área transversal varia com de acordo com:
onde é expressa em metros quadrados e em metros. A tensão no fio é . (b) E se? Suponha que o fio seja de alumínio e está sob uma tensão . Determine a velocidade da onda na origem e em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade de uma onda que se propaga em um fio cônico, ou seja, um fio cuja área da seção transversal varia com a posição . A gente precisa calcular a velocidade da onda na origem ( ) e em . Para isso, vamos usar conceitos de física sobre ondas em fios e a relação entre velocidade, tensão e massa linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a área da seção transversal varia com . A fórmula dada é:
²
Isso significa que à medida que nos movemos ao longo do fio, a área muda linearmente com .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área na origem ( ) e em .
Para :
²
Para :
²

Passo 4

A próxima coisa que precisamos é da densidade do alumínio, já que o fio é feito desse material. A densidade ( ) do alumínio é aproximadamente:
³
Com isso, podemos calcular a massa linear ( ) do fio, que é a massa por unidade de comprimento. A massa linear é dada por:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da velocidade da onda ( ) em um fio tensionado, que é:
Onde:
  • é a tensão no fio (já dada como )
  • é a massa linear que calculamos

Passo 6

Vamos calcular e para os dois pontos: e .
Para :
³²
Então,
Para :
³²
Então,

Resposta

A velocidade da onda no fio de alumínio é aproximadamente na origem ( ) e em .

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