A força exercida por uma mola unidimensional, fixa por uma de suas extremidades, é , onde é o deslocamento da outra extremidade com relação ao seu ponto de equilíbrio. Assumindo que esta força é conservativa (o que de fato é), mostre que a energia potencial correspondente é se escolhermos como sendo zero na posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de forças conservativas e energia potencial no contexto de uma mola, usando a lei de Hooke. A gente vai precisar entender como relacionar a força exercida pela mola com a energia potencial armazenada nela. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é chamada de conservativa quando o trabalho que ela realiza não depende do caminho seguido, mas apenas das posições inicial e final. No caso da mola, a força é dada por , onde é a constante da mola e é o deslocamento da posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia potencial associada a essa força, usamos a relação entre força e energia potencial. A energia potencial é obtida integrando a força em relação ao deslocamento. A fórmula geral é:
Aqui, o sinal negativo indica que a energia potencial diminui quando a força realiza trabalho positivo.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula à força da mola. Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de com respeito a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Como estamos escolhendo a energia potencial como zero na posição de equilíbrio ( ), podemos determinar que . Portanto, a expressão para a energia potencial fica:

Resposta

A energia potencial correspondente é .

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