A força exercida por uma mola unidimensional, fixa por uma de suas extremidades, é
, onde
é o deslocamento da outra extremidade com relação ao seu ponto de equilíbrio. Assumindo que esta força é conservativa (o que de fato é), mostre que a energia potencial correspondente é
se escolhermos
como sendo zero na posição de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de forças conservativas e energia potencial no contexto de uma mola, usando a lei de Hooke. A gente vai precisar entender como relacionar a força exercida pela mola com a energia potencial armazenada nela. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é chamada de conservativa quando o trabalho que ela realiza não depende do caminho seguido, mas apenas das posições inicial e final. No caso da mola, a força é dada por
, onde
é a constante da mola e
é o deslocamento da posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, para encontrar a energia potencial
associada a essa força, usamos a relação entre força e energia potencial. A energia potencial é obtida integrando a força em relação ao deslocamento. A fórmula geral é:
Aqui, o sinal negativo indica que a energia potencial diminui quando a força realiza trabalho positivo.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula à força da mola. Substituindo
na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
com respeito a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Como estamos escolhendo a energia potencial
como zero na posição de equilíbrio (
), podemos determinar que
. Portanto, a expressão para a energia potencial fica:
Resposta
A energia potencial correspondente é
.