Na vizinhança do ponto onde estou em pé sobre a superfície de um planeta X , a força gravitacional sobre uma massa é verticalmente para baixo, mas possui magnitude , onde é uma constante e é a altura da massa acima da horizontal correspondente ao solo. Determine o trabalho realizado pela gravidade sobre a massa movendo-se de a e use sua resposta para mostrar que a gravidade no planeta X , embora muito rara, é ainda conservativa. Determine a energia potencial correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pela força da gravidade em um planeta X, onde a força gravitacional depende da altura de forma quadrática ( ). Vamos usar conceitos de Trabalho e Energia Potencial da Física para resolver isso. Precisaremos entender como calcular o trabalho através da integral da força e mostrar que essa força é conservativa, além de encontrar a energia potencial associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao mover um objeto de um ponto para outro ponto é dado pela integral da força ao longo do caminho:
Nesse caso, a força da gravidade é verticamente para baixo e depende da altura como , onde é o vetor unitário na direção vertical.
Como a força só tem componente vertical, e o movimento também será na vertical (para simplificar), podemos escrever o trabalho como:
Substituindo :
Agora, vamos calcular essa integral:

Passo 3

Agora, para mostrar que a gravidade nesse planeta é conservativa, precisamos verificar se o trabalho realizado pela força gravitacional depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Como o trabalho que calculamos depende apenas de e , isso indica que a força é conservativa.
Além disso, uma força é conservativa se pode ser derivada a partir de uma função de energia potencial . Sabemos que:
No nosso caso, como a força só tem componente vertical:
Substituindo :
Simplificando:
Para encontrar , vamos integrar:
Podemos escolher a constante para que a energia potencial seja zero no solo ( ):

Resposta

O trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de para é:
Isso mostra que a força gravitacional no planeta X é conservativa, e a energia potencial correspondente é:

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