Na vizinhança do ponto onde estou em pé sobre a superfície de um planeta X , a força gravitacional sobre uma massa
é verticalmente para baixo, mas possui magnitude
, onde
é uma constante e
é a altura da massa acima da horizontal correspondente ao solo. Determine o trabalho realizado pela gravidade sobre a massa
movendo-se de
a
e use sua resposta para mostrar que a gravidade no planeta X , embora muito rara, é ainda conservativa. Determine a energia potencial correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pela força da gravidade em um planeta X, onde a força gravitacional depende da altura
de forma quadrática (
). Vamos usar conceitos de Trabalho e Energia Potencial da Física para resolver isso. Precisaremos entender como calcular o trabalho através da integral da força e mostrar que essa força é conservativa, além de encontrar a energia potencial associada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força ao mover um objeto de um ponto
para outro ponto
é dado pela integral da força
ao longo do caminho:
Nesse caso, a força da gravidade é verticamente para baixo e depende da altura
como
, onde
é o vetor unitário na direção vertical.
Como a força só tem componente vertical, e o movimento também será na vertical (para simplificar), podemos escrever o trabalho como:
Substituindo
:
Agora, vamos calcular essa integral:
Passo 3
Agora, para mostrar que a gravidade nesse planeta é conservativa, precisamos verificar se o trabalho realizado pela força gravitacional depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Como o trabalho que calculamos depende apenas de
e
, isso indica que a força é conservativa.
Além disso, uma força é conservativa se pode ser derivada a partir de uma função de energia potencial
. Sabemos que:
No nosso caso, como a força só tem componente vertical:
Substituindo
:
Simplificando:
Para encontrar
, vamos integrar:
Podemos escolher a constante
para que a energia potencial seja zero no solo (
):
Resposta
O trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de
para
é:
Isso mostra que a força gravitacional no planeta X é conservativa, e a energia potencial correspondente é: