Uma massa confinada ao eixo
tem energia potencial
, com
. Fazendo uma mudança de variável apropriada na integral, mostre que o período
é inversamente proporcional à amplitude
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma massa que se move no eixo
com uma energia potencial dada por
, onde
é uma constante positiva. Queremos mostrar que o período
dessa oscilação é inversamente proporcional à amplitude
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e integração para encontrar o período.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total
do sistema em uma oscilação é igual à energia potencial máxima, que ocorre na amplitude
. Então, temos:
Passo 3
O período
de uma oscilação pode ser calculado pela integral do tempo que a massa leva para ir de
até
e voltar. A fórmula geral para o período é:
onde
é a massa da partícula.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Passo 5
Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de variável. Definimos
, onde
é uma nova variável adimensional. Assim,
e os limites da integral mudam para
a
:
Passo 6
Simplificamos os termos com
:
Note que a integral
é uma constante e não depende de
.
Passo 7
Como a integral é uma constante, podemos concluir que:
Ou seja, o período
é inversamente proporcional à amplitude
.
Resposta
O período
é inversamente proporcional à amplitude
, ou seja,
.