Uma massa confinada ao eixo tem energia potencial , com . Fazendo uma mudança de variável apropriada na integral, mostre que o período é inversamente proporcional à amplitude .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma massa que se move no eixo com uma energia potencial dada por , onde é uma constante positiva. Queremos mostrar que o período dessa oscilação é inversamente proporcional à amplitude , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e integração para encontrar o período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total do sistema em uma oscilação é igual à energia potencial máxima, que ocorre na amplitude . Então, temos:

Passo 3

O período de uma oscilação pode ser calculado pela integral do tempo que a massa leva para ir de até e voltar. A fórmula geral para o período é:
onde é a massa da partícula.

Passo 4

Substituímos e na integral:

Passo 5

Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de variável. Definimos , onde é uma nova variável adimensional. Assim, e os limites da integral mudam para a :

Passo 6

Simplificamos os termos com :
Note que a integral é uma constante e não depende de .

Passo 7

Como a integral é uma constante, podemos concluir que:
Ou seja, o período é inversamente proporcional à amplitude .

Resposta

O período é inversamente proporcional à amplitude , ou seja, .

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