A forma simples
será verdadeira apenas se as coordenadas generalizadas forem “naturais” (a relação entre as coordenadas generalizadas e as Cartesianas subjacentes for independente do tempo). Se as coordenadas generalizadas forem “naturais”, você deve usar a definição
. Para ilustrar este ponto, considere o seguinte: duas crianças estão brincando de agarrar uma bola dentro de um vagão de trem que está se movendo com velocidade variável
ao longo de um trilho reto horizontal. Para coordenadas generalizadas, você pode usar a posição
da bola relativa a um ponto fixo no vagão, mas elaborando a Hamiltoniana para a bola, você deve usar coordenadas em um referencial inercial - um referencial fixo ao solo. Determine a Hamiltoniana para a bola e mostre que ela não é igual a
(nem quando medida no vagão, nem quando medida no referencial com base no solo).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas crianças brincando dentro de um vagão de trem que está acelerando. Queremos descobrir a Hamiltoniana da bola que elas estão tentando agarrar. A Hamiltoniana, que é uma função importante na física, geralmente é a soma da energia cinética
e da energia potencial
. Mas, para que isso seja verdade, precisamos usar coordenadas generalizadas “naturais”, ou seja, coordenadas que não dependem do tempo de forma complicada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Hamiltoniana. Ela é definida como:
onde
são os momentos generalizados,
são as velocidades generalizadas e
é a Lagrangiana, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial (
).
Passo 3
Agora, vamos pensar nas coordenadas que vamos usar. Se usarmos a posição da bola em relação ao vagão (
), essas coordenadas estão em um referencial que está acelerando junto com o trem. Isso complica as coisas porque a velocidade do trem
está variando com o tempo, então nossas coordenadas não são “naturais”.
Passo 4
Para simplificar, vamos mudar para um referencial inercial, ou seja, um referencial fixo ao solo. Nesse caso, as coordenadas da bola serão medidas em relação a esse ponto fixo. Vamos chamar essas coordenadas de
.
Passo 5
No referencial fixo ao solo, a energia cinética
da bola é dada por:
onde
é a massa da bola e
são as velocidades nas direções
.
Passo 6
Como o trem está acelerando, a velocidade
do trem em relação ao solo é função do tempo. Isso significa que a energia potencial
pode depender do tempo também. Mas, para a Hamiltoniana ser
, precisaria que
não dependesse explicitamente do tempo, o que não é o caso aqui.
Passo 7
Calculando a Hamiltoniana no referencial inercial:
Substituindo
, temos:
Mas, como vimos,
depende do tempo devido à aceleração do trem, então a relação simples
não se mantém.
Passo 8
Fazendo a mesma análise no referencial do vagão, onde as coordenadas são relativas ao trem acelerado, a situação fica ainda mais complexa. As forças fictícias surgem devido à aceleração do referencial, fazendo com que a Hamiltoniana não seja simplesmente
nesses termos também.
Resposta
A Hamiltoniana para a bola no referencial inercial fixo ao solo não é igual a
devido à dependência temporal da velocidade do trem. Da mesma forma, no referencial do vagão acelerado, a Hamiltoniana também não corresponde a
. Isso mostra que, quando as coordenadas generalizadas não são “naturais”, a relação simples entre a Hamiltoniana e as energias cinética e potencial não se aplica.