Todos os exemplos deste capítulo e todos os problemas (exceto este) tratam com forças que derivam de uma energia potencial [ou ocasionalmente . Entretanto, a demonstração das equações de Hamilton dada na Seção 13.3 se aplica para qualquer sistema para o qual as equações de Lagrange são válidas e isso pode incluir forças que não são obtidas de uma energia potencial. Um exemplo importante de tais forças é a força magnética sobre uma partícula carregada. Use a Lagrangiana (7.103) para mostrar que a Hamiltoniana para uma carga em um campo eletromagnético é
(Essa Hamiltoniana desempenha um papel importante na mecânica quântica de partículas carregadas.)

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Vamos lá! Você tem um exercício que pede para mostrar como a Hamiltoniana para uma carga em um campo eletromagnético é dada por:
O que isso significa?
Estamos trabalhando com a mecânica de Hamilton, que é uma formulação da física clássica que nos ajuda a descrever sistemas dinâmicos de forma muito poderosa. Nesse caso, queremos ver como a Hamiltoniana, que representa a energia total do sistema, se comporta para uma partícula carregada em um campo eletromagnético.
O que vamos precisar?
  • Lagrangiana: Uma função que descreve o sistema, geralmente , onde é a energia cinética e a energia potencial.
  • Hamiltoniana: Obtida a partir da Lagrangiana através de uma transformação chamada transformação de Legendre.
  • Conceitos de campo eletromagnético: Como o potencial vetor e o potencial escalar .

Passo 2

Definindo a Lagrangiana para uma partícula carregada
Primeiro, precisamos escrever a Lagrangiana para uma carga em um campo eletromagnético. A Lagrangiana geral para esse sistema é dada por:
Explicando os termos:
  • : Energia cinética da partícula, onde é a massa e a velocidade.
  • : Termo que envolve o potencial vetor do campo magnético.
  • : Energia potencial elétrica, onde é o potencial escalar elétrico.

Passo 3

Calculando o momento canônico
Na mecânica de Hamilton, precisamos encontrar o momento canônico associado à coordenação . Isso é feito derivando a Lagrangiana em relação à velocidade :
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Derivada da energia cinética:
  2. Derivada do termo com :
  3. Derivada do termo com :
Somando tudo:

Passo 4

Rearranjando para encontrar a velocidade
Queremos expressar a velocidade em termos do momento canônico . A partir da equação anterior:
Isolando :

Passo 5

Calculando a Hamiltoniana
A Hamiltoniana é definida pela transformação de Legendre, que combina a Lagrangiana e o produto do momento canônico pela velocidade:
Substituindo e :
  1. Calcular :
  2. Subtrair a Lagrangiana:
Simplificando:
Substituímos novamente:
Então:
Ao simplificar todos os termos, acabamos com:

Resposta

A Hamiltoniana para uma carga em um campo eletromagnético é

Exercícios de Livros Relacionados