Todos os exemplos deste capítulo e todos os problemas (exceto este) tratam com forças que derivam de uma energia potencial
[ou ocasionalmente
. Entretanto, a demonstração das equações de Hamilton dada na Seção 13.3 se aplica para qualquer sistema para o qual as equações de Lagrange são válidas e isso pode incluir forças que não são obtidas de uma energia potencial. Um exemplo importante de tais forças é a força magnética sobre uma partícula carregada. Use a Lagrangiana (7.103) para mostrar que a Hamiltoniana para uma carga
em um campo eletromagnético é
(Essa Hamiltoniana desempenha um papel importante na mecânica quântica de partículas carregadas.)
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Vamos lá! Você tem um exercício que pede para mostrar como a Hamiltoniana para uma carga
em um campo eletromagnético é dada por:
O que isso significa?
Estamos trabalhando com a mecânica de Hamilton, que é uma formulação da física clássica que nos ajuda a descrever sistemas dinâmicos de forma muito poderosa. Nesse caso, queremos ver como a Hamiltoniana, que representa a energia total do sistema, se comporta para uma partícula carregada
em um campo eletromagnético.
O que vamos precisar?
- Lagrangiana: Uma função que descreve o sistema, geralmente
, onde é a energia cinética e a energia potencial. - Hamiltoniana: Obtida a partir da Lagrangiana através de uma transformação chamada transformação de Legendre.
- Conceitos de campo eletromagnético: Como o potencial vetor
e o potencial escalar .
Passo 2
Definindo a Lagrangiana para uma partícula carregada
Primeiro, precisamos escrever a Lagrangiana para uma carga
em um campo eletromagnético. A Lagrangiana geral para esse sistema é dada por:
Explicando os termos:
-
: Energia cinética da partícula, onde é a massa e a velocidade. -
: Termo que envolve o potencial vetor do campo magnético. -
: Energia potencial elétrica, onde é o potencial escalar elétrico.
Passo 3
Calculando o momento canônico
Na mecânica de Hamilton, precisamos encontrar o momento canônico associado à coordenação
. Isso é feito derivando a Lagrangiana em relação à velocidade
:
Vamos calcular isso passo a passo:
- Derivada da energia cinética:
- Derivada do termo com
: - Derivada do termo com
:
Somando tudo:
Passo 4
Rearranjando para encontrar a velocidade
Queremos expressar a velocidade
em termos do momento canônico
. A partir da equação anterior:
Isolando
:
Passo 5
Calculando a Hamiltoniana
A Hamiltoniana é definida pela transformação de Legendre, que combina a Lagrangiana e o produto do momento canônico pela velocidade:
Substituindo
e
:
- Calcular
: - Subtrair a Lagrangiana:
Simplificando:
Substituímos
novamente:
Então:
Ao simplificar todos os termos, acabamos com:
Resposta
A Hamiltoniana para uma carga
em um campo eletromagnético é