Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo? Expanda o resultado que você obteve como uma série de potências de pequeno e mostre que o termo de mais baixa ordem é o cúbico . Essa deve ser uma aproximação adequada, contanto que (o que é verdade).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Queremos calcular a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda do elétron no estado fundamental. Precisamos integrar essa função de onda ao quadrado sobre o volume do núcleo. Além disso, vamos expandir o resultado em uma série de potências de , onde é o raio do núcleo e é o raio de Bohr, assumindo que .

Passo 2

A função de onda do elétron no estado fundamental do hidrogênio é dada por:
onde é o raio de Bohr.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica é o módulo ao quadrado da função de onda integrada sobre essa região. Portanto, a probabilidade de encontrar o elétron dentro do núcleo de raio é:

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Substituindo na expressão da probabilidade:

Passo 6

Simplificamos a integral:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então e .

Passo 7

Com a substituição, os limites de integração mudam de a para a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, expandimos em uma série de potências:
Multiplicando por :

Passo 9

Integramos termo a termo de a :

Passo 10

Considerando que é pequeno ( ), podemos aproximar a integral preservando apenas o termo de menor ordem, que é o cúbico:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão para :
Lembrando que :

Resposta

A probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo é aproximadamente:

Exercícios de Livros Relacionados