Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo? Expanda o resultado que você obteve como uma série de potências de
pequeno e mostre que o termo de mais baixa ordem é o cúbico
. Essa deve ser uma aproximação adequada, contanto que
(o que é verdade).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Queremos calcular a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda do elétron no estado fundamental. Precisamos integrar essa função de onda ao quadrado sobre o volume do núcleo. Além disso, vamos expandir o resultado em uma série de potências de
, onde
é o raio do núcleo e
é o raio de Bohr, assumindo que
.
Passo 2
A função de onda do elétron no estado fundamental do hidrogênio é dada por:
onde
é o raio de Bohr.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica é o módulo ao quadrado da função de onda integrada sobre essa região. Portanto, a probabilidade
de encontrar o elétron dentro do núcleo de raio
é:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo
na expressão da probabilidade:
Passo 6
Simplificamos a integral:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
e
.
Passo 7
Com a substituição, os limites de integração mudam de
a
para
a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, expandimos
em uma série de potências:
Multiplicando por
:
Passo 9
Integramos termo a termo de
a
:
Passo 10
Considerando que
é pequeno (
), podemos aproximar a integral preservando apenas o termo de menor ordem, que é o cúbico:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão para
:
Lembrando que
:
Resposta
A probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo é aproximadamente: