Nossa galáxia, a Via Láctea, tem 100.000 anos-luz de diâmetro. Uma espaçonave que cruza a galáxia mede seu tamanho como sendo somente 1,0 ano-luz.
26. I
a. Qual é a velocidade da espaçonave em relação à nossa galáxia?
b. Quanto tempo a espaçonave leva para cruzar a galáxia, medido em relação ao referencial da galáxia?

Passo 1

O enunciado dá o diâmetro da galáxia, que no referencial da galáxia é o comprimento próprio
L = 100,000 anos-luz,
e diz que a espaçonave mede esse comprimento contraído como
L' = 1,0 ano-luz
O conteúdo é o fenômeno de contração de Lorentz; vamos usar a fórmula
L' = Lgamma,
onde gamma é o fator de Lorentz, para depois achar a velocidade v e o tempo de travessia no referencial da galáxia.

Passo 2

Aplicamos a definição de gamma:
gamma = LL' = 100,0001,0 = 100,000
Por outro lado,
gamma = 1raiz1-beta^2,beta=vc

Passo 3

Isolamos beta:
beta = raiz1 - 1gamma^2 = raiz1 - 1(10^5)^2 = raiz1 - 10^-10
Como 10^-10 é muito pequeno, podemos aproximar
beta approx 1 - 12,10^-10 = 1 - 5times10^-11
Logo
v = beta,c approx l(1 - 5times10^-11r),c approx 0,99999999995,c

Passo 4

O tempo de travessia no referencial da galáxia é
t = Lv = 100,000 anos-luz(0,99999999995),c = 100,0000,99999999995 anos approx 100,000,005 anos
Para três algarismos significativos dá ainda cerca de 1,0times10^5 anos.

Resposta

a. v approx 0,99999999995,c
b. t approx 1,0times10^5 anos.

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