Você está voando no seu foguete pessoal a 0,9 c, indo da Estrela A para a Estrela B. A distância entre as estrelas, medida no referencial das estrelas, é de 1,0 ano-luz. Ambas as estrelas explodem simultaneamente em relação ao referencial do seu foguete, no instante em que sua espaçonave se encontra exatamente a meia distância entre elas. Você enxerga simultaneamente os flashes emitidos na explosão? Em caso negativo, qual deles você vê primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois?
15. I Você está voando no seu foguete pessoal a 0,9 c, indo da Estrela A para a Estrela B. A distância entre as estrelas, medida no referencial das estrelas, é de 1,0 ano-luz. Ambas as estrelas explodem simultaneamente em relação ao referencial do seu foguete, no instante em que sua espaçonave se encontra exatamente a meia distância entre elas. Você enxerga simultaneamente os flashes emitidos na explosão? Em caso negativo, qual deles você vê primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois?

Passo 1

O enunciado fala de duas estrelas A e B separadas por 1,0 ano-luz no referencial das estrelas. A sua espaçonave cruza de A para B à velocidade v=0,9,c e, no instante em que ela está exatamente à meia-distância (isto é, a 0,5,ly de cada estrela), ambas explodem simultaneamente em relação ao referencial das estrelas. Precisamos determinar se, na sua nave, você vê os dois flashes ao mesmo tempo; caso não, qual chega primeiro e qual é a diferença de tempo medida pelo seu relógio.

Passo 2

No referencial das estrelas (chamado aqui de “lab”), as explosões ocorrem em
tA^rm lab=tB^rm lab=0,
nos pontos
xA=0, xB=1,0 ly,
e a nave passa pelo ponto xS(0)=0,5,ly com velocidade
xS(t)=0,5 + v,t, v=0,9,c
Os flashes viajam à velocidade c=1,ly/ano.

Passo 3

Calculemos o instante tB em que o flash de B alcança a nave: a luz sai de x=1 em t=0 e atinge xS(tB). Logo
c,tB ;=; 1 - xS(tB) ;Longrightarrow; tBl(c+vr)=0,5 ;Longrightarrow; tB=0,5c+v=0,51+0.9=0,2632 a
De forma análoga, o flash de A sai de x=0 e atinge a nave em tA dado por
c,tA = xS(tA)-0 ;Longrightarrow; tAl(c-vr)=0,5 ;Longrightarrow; tA=0,51-0,9=5,0 a

Passo 4

Comparando, tB=0,2632,a e tA=5,0,a no referencial das estrelas, logo o flash de B chega muito antes do de A.

Passo 5

Para saber o intervalo medido pelo seu relógio (tempo próprio da nave), dividimos pela fator de Lorentz
gamma=1raiz1-v^2/c^2 =1raiz1-0,9^2 approx2,294
O tempo próprio até ver B é
tauB=tBgammaapprox0,26322,294approx0,115 a,
até ver A é
tauA=tAgammaapprox5,02,294approx2,18 a
A diferença de tempo entre os dois flashes na sua nave é
De<a tau=tauA-tauB approx2,18 - 0,115 approx2,06 anos

Resposta

Você vê primeiro o flash da estrela B (à frente), e depois, com intervalo de cerca de 2,06 anos medido pelo seu relógio, o flash da estrela A.

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