(a) Monte a função de onda completamente antissimétrica para três férmions idênticos, um no estado , um no estado e um no estado .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente montar uma função de onda totalmente antissimétrica para três férmions idênticos, onde cada um está em um estado diferente: , e . Aqui, estamos lidando com a matéria de mecânica quântica, especificamente com o comportamento de partículas chamadas férmions, que obedecem ao princípio da exclusão de Pauli. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante de Slater, que garante que a função de onda seja antissimétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função de onda antissimétrica. Para partículas idênticas como os férmions, trocar duas partículas deve mudar o sinal da função de onda. Isso é importante para obedecer o princípio da exclusão de Pauli, que basicamente diz que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico.
Passo 3
Para garantir essa antissimetria, usamos o determinante de Slater. Para três partículas, o determinante será uma matriz , onde cada linha representa uma partícula e cada coluna representa um estado quântico. No nosso caso, temos três férmions nos estados , e , e suas coordenadas espaciais são , e .
Passo 4
Vamos montar a matriz para o determinante de Slater. Cada elemento da matriz será a função de onda de uma partícula em um estado específico:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para obter a função de onda antissimétrica:
O fator é para normalizar a função de onda, garantindo que a probabilidade total seja 1.
Passo 6
Expandindo o determinante, temos:
Essa expressão garante que se trocarmos qualquer duas partículas, a função de onda mudará de sinal, mantendo a antissimetria necessária.
Resposta
A função de onda completamente antissimétrica para os três férmions é dada por:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 5.4 - Ex. Problema 5.22a