Obtenha a Equação 5.76 por indução. A questão combinatória é a seguinte: de quantas maneiras diferentes você pode colocar bolas idênticas em cestas (não se incomode com o subscrito para esse problema). Você poderia colocar todas as na terceira cesta, ou todas, exceto uma delas, na segunda cesta e uma na quinta, ou duas na primeira e três na terceira e todo o resto na sétima etc. Resolva explicitamente os casos e ; nesse estágio você já deve ser capaz de deduzir a fórmula geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir de quantas maneiras diferentes podemos colocar bolas idênticas em cestas. Isso faz parte da matéria de combinatória, especificamente sobre combinação com repetição. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir objetos iguais em recipientes distintos e usar a indução matemática para chegar a uma fórmula geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver os casos específicos para entender o padrão. Vamos começar com e aumentar gradualmente até .

Passo 3

Caso :
Temos 1 bola e cestas. Como só há uma bola, ela pode ir para qualquer uma das cestas.
  • Número de maneiras:

Passo 4

Caso :
Com 2 bolas e cestas, as possibilidades são:
  1. Ambas as bolas na primeira cesta.
  2. Ambas na segunda cesta.
  3. E assim por diante, até a -ésima cesta.
  4. Uma bola na primeira cesta e uma na segunda.
  5. Uma na primeira e uma na terceira.
  6. E assim sucessivamente, combinando as cestas de todas as maneiras possíveis.
  • Número de maneiras:

Passo 5

Caso :
Agora com 3 bolas:
  1. Todas as 3 bolas em uma única cesta. Isso d�� possibilidades.
  2. Duas bolas em uma cesta e uma em outra. Aqui, escolhemos qual das cestas terá 2 bolas e qual terá 1 bola. Isso dá possibilidades.
  3. Uma bola em cada de três cestas diferentes. O número de maneiras de escolher 3 cestas entre é .
  • Número de maneiras:

Passo 6

Caso :
Com 4 bolas:
  1. Todas as 4 bolas em uma cesta: maneiras.
  2. Três bolas em uma cesta e uma em outra: .
  3. Duas bolas em uma cesta e duas em outra: .
  4. Duas bolas em uma cesta, uma em outra e uma em outra: .
  5. E assim por diante, considerando todas as combinações possíveis.
  • Número de maneiras:

Passo 7

Observando os casos acima, percebemos que para cada , o número de maneiras de distribuir as bolas nas cestas segue o padrão da combinação com repetição, que é dada pela fórmula:

Passo 8

Agora, para provar isso por indução, assumimos que a fórmula funciona para um certo e mostramos que funciona para .
Hipótese de Indução:
Para algum , o número de maneiras de distribuir bolas em cestas é .
Passo de Indução:
Queremos mostrar que para bolas, o número de maneiras é .
Usando a hipótese de indução, adicionamos uma bola extra e consideramos todas as possíveis cestas para essa bola, o que nos leva à fórmula combinatória mencionada.

Resposta

Portanto, a fórmula geral para o número de maneiras de distribuir bolas idênticas em cestas é:

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