Em geral, o integrando , cujo integral desejamos minimizar, depende de . Há uma simplificação considerável se for independente de , isto é, . (Isso aconteceu nos Exemplos 6.1 e 6.2, embora, no último, os papéis de e tenham sido trocados.) Mostre que, quando isso acontece, a equação de Euler-Lagrange (6.13) reduz-se à relação
Como essa é uma equação diferencial de primeira ordem para , enquanto a equação de Euler-Lagrange é geralmente de segunda ordem, essa é uma simplificação importante e o resultado (6.42) é chamado de primeira integral da equação de Euler-Lagrange. Na mecânica
Lagrangiana, veremos que essa simplificação surge quando uma componente do momento é conservada.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me enviou fala sobre minimizar uma integral que depende de três coisas: , e . A matéria que estamos lidando aqui é o cálculo das variações, mais especificamente a equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta poderosa para encontrar funções que minimizam integrais. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a equação de Euler-Lagrange funciona e como ela se simplifica quando a função não depende de , ou seja, .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
Essa equação nos diz como a função deve se comportar para que a integral de seja minimizada.

Passo 3

Agora, o exercício nos diz que não depende de , ou seja, . Isso significa que a derivada parcial de em relação a , , é igual a zero:

Passo 4

Com essa simplificação, vamos voltar à equação de Euler-Lagrange. Substituindo , a equação fica:
Isso significa que a derivada de em relação a é zero.

Passo 5

Quando a derivada de alguma função em relação a é zero, isso indica que essa função é uma constante. Portanto, temos:
Isso é conhecido como a primeira integral da equação de Euler-Lagrange. Em termos simples, conseguimos reduzir uma equação diferencial de segunda ordem para uma de primeira ordem, facilitando a resolução do problema.

Resposta

Quando é independente de , a equação de Euler-Lagrange se simplifica para:

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