Em geral, o integrando
, cujo integral desejamos minimizar, depende de
. Há uma simplificação considerável se
for independente de
, isto é,
. (Isso aconteceu nos Exemplos 6.1 e 6.2, embora, no último, os papéis de
e
tenham sido trocados.) Mostre que, quando isso acontece, a equação de Euler-Lagrange (6.13) reduz-se à relação
Como essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
, enquanto a equação de Euler-Lagrange é geralmente de segunda ordem, essa é uma simplificação importante e o resultado (6.42) é chamado de primeira integral da equação de Euler-Lagrange. Na mecânica
Lagrangiana, veremos que essa simplificação surge quando uma componente do momento é conservada.
Lagrangiana, veremos que essa simplificação surge quando uma componente do momento é conservada.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você me enviou fala sobre minimizar uma integral que depende de três coisas:
,
e
. A matéria que estamos lidando aqui é o cálculo das variações, mais especificamente a equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta poderosa para encontrar funções que minimizam integrais. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a equação de Euler-Lagrange funciona e como ela se simplifica quando a função
não depende de
, ou seja,
.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
Essa equação nos diz como a função
deve se comportar para que a integral de
seja minimizada.
Passo 3
Agora, o exercício nos diz que
não depende de
, ou seja,
. Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
,
, é igual a zero:
Passo 4
Com essa simplificação, vamos voltar à equação de Euler-Lagrange. Substituindo
, a equação fica:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 5
Quando a derivada de alguma função em relação a
é zero, isso indica que essa função é uma constante. Portanto, temos:
Isso é conhecido como a primeira integral da equação de Euler-Lagrange. Em termos simples, conseguimos reduzir uma equação diferencial de segunda ordem para uma de primeira ordem, facilitando a resolução do problema.
Resposta
Quando
é independente de
, a equação de Euler-Lagrange se simplifica para: