Considere agora o problema da braquistócrona do Exemplo 6.2, mas suponha que o carro seja lançado do ponto 1 com velocidade inicial . Mostre que o caminho de tempo mínimo até o ponto fixo 2 é ainda uma cicloide, mas com sua cúspide (o ponto mais alto da curva) a uma altura acima do ponto 1 .

Passo 1

Então, vamos falar sobre o problema da braquistócrona que você trouxe. Basicamente, a braquistócrona é a curva que permite que um objeto desça do ponto A até o ponto B no menor tempo possível, sob a influência da gravidade. No exemplo que você mencionou, além de encontrar essa curva, temos um detalhe a mais: o carro começa com uma velocidade inicial . Nosso objetivo aqui é mostrar que, mesmo com essa velocidade inicial, o caminho que minimiza o tempo até o ponto fixo 2 continua sendo uma cicloide. Além disso, precisamos provar que o ponto mais alto dessa cicloide (a cúspide) está a uma altura de acima do ponto de partida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma cicloide. Uma cicloide é a curva traçada por um ponto fixo em uma roda que rola sem deslizar sobre uma linha reta. No contexto da braquistócrona, a cicloide é a trajetória que minimiza o tempo de descida sob a gravidade. Agora, no nosso problema, o carro não começa do repouso, mas com uma velocidade inicial . Isso significa que, além da energia potencial gravitacional que será convertida em energia cinética durante a descida, já temos uma energia cinética inicial.

Passo 3

Para entender como a velocidade inicial afeta a trajetória, vamos usar o princípio da conservação de energia. A energia total do sistema no ponto de partida (ponto 1) é a soma da energia cinética inicial e da energia potencial gravitacional. Como estamos medindo a altura relativa a ponto 1, a energia potencial no ponto 1 é zero. Portanto, a energia total inicial é apenas a energia cinética:
Conforme o carro desce pela cicloide, parte dessa energia cinética será convertida em energia potencial, mas a forma da trajetória que minimiza o tempo continua sendo a cicloide.

Passo 4

A presença da velocidade inicial afeta a altura máxima que a cicloide alcança. Vamos determinar essa altura adicional. No ponto mais alto da cicloide (a cúspide), toda a energia cinética inicial é convertida em energia potencial. Usando a conservação de energia:
Onde:
  • é a massa do carro,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura adicional.
Resolvendo para :

Passo 5

Portanto, a cicloide que descreve o caminho de tempo mínimo com velocidade inicial é a mesma cicloide clássica, mas deslocada verticalmente para cima em uma altura igual a . Isso significa que a cúspide da cicloide não está na mesma altura do ponto de partida, e sim acima dele por essa quantidade.

Resposta

O caminho de tempo mínimo é uma cicloide cuja cúspide está a uma altura de acima do ponto de partida.

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